Question

行列式问题

A是2n+1阶矩阵，且A^t*A=E;求证|E-A^2|=0

Answer 1

解: 因为 A^TA=E
所以 |A^TA|=|E|=1
故有 |A|^2=1=|A^T^2|

|E-A^2|
= |A^T^2||E-A^2|
= |A^T^2-A^T^2A^2|
= |A^T^2-E|
= |(A^T^2-E)^T|
= |A^2-E|
= (-1)^(2n+1)|E-A^2|
= -|E-A^2|

所以 |E-A^2|=0.

Answer 2

设A的特征值为λ, 其对应的特征向量为ξ, 由A^t*A=E知
ξ^TA^t*Aξ=(λξ)^T(λξ)=λ^2(ξ^Tξ)=ξ^TEξ=ξ^Tξ,
因为ξ不为零向量，所以ξ^Tξ不等于0，于是λ^2=1,
于是A的特征值为1或-1, 所以A^2的特征值都是1，于是
E-A^2的特征值都是0，所以|E-A^2|=0。