线性代数,基础解系
设m*n矩阵A的秩r(A)=r,y1,y2......y(n-r+1)是非齐次线性方程组AX=P的n-r+1个线性无关的解向量,(1)证明y1-y(n-r+1),y2-y...
设m*n矩阵A的秩r(A)=r,y1,y2......y(n-r+1)是非齐次线性方程组AX=P的n-r+1个线性无关的解向量,(1)证明y1-y(n-r+1),y2-y(n-r+1),......,y(n-r)-y(n-r+1)线性无关
(2)求导出组AX=0的基础解系,及AX=P的通解 展开
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(1)若:y1-y(n-r+1),y2-y(n-r+1),......,y(n-r)-y(n-r+1)线性相关,即存在不全为0的数h1,h2,, h(n-r)
使:h1[y1-y(n-r+1)]+ h2[y2-y(n-r+1)]+......+h(n-r)[y(n-r)-y(n-r+1)]=0
即:,h1y1+h2y2+.....h(n-r)y(n-r)+[h1+h2+....+h(n-r)]y(n-r+1)=0.
由此,得出y1,y2......y(n-r+1)线性相关,与假设矛盾,
即知y1-y(n-r+1),y2-y(n-r+1),......,y(n-r)-y(n-r+1)线性无关.
(2)由于:r(A)=r. 知AX=0的基础解系含有n-r个线性无关的解向量.
又,由定理知:y1-y(n-r+1),y2-y(n-r+1),......,y(n-r)-y(n-r+1)中的每一个都是齐次方程组AX=0的解.由于它们线性无关, 故知它们即为AX=0的基础解系. 而AX=P的通解可表为:
X= y1+ h1[y1-y(n-r+1)]+ h2[y2-y(n-r+1)]+......+h(n-r)[y(n-r)-y(n-r+1)]
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使:h1[y1-y(n-r+1)]+ h2[y2-y(n-r+1)]+......+h(n-r)[y(n-r)-y(n-r+1)]=0
即:,h1y1+h2y2+.....h(n-r)y(n-r)+[h1+h2+....+h(n-r)]y(n-r+1)=0.
由此,得出y1,y2......y(n-r+1)线性相关,与假设矛盾,
即知y1-y(n-r+1),y2-y(n-r+1),......,y(n-r)-y(n-r+1)线性无关.
(2)由于:r(A)=r. 知AX=0的基础解系含有n-r个线性无关的解向量.
又,由定理知:y1-y(n-r+1),y2-y(n-r+1),......,y(n-r)-y(n-r+1)中的每一个都是齐次方程组AX=0的解.由于它们线性无关, 故知它们即为AX=0的基础解系. 而AX=P的通解可表为:
X= y1+ h1[y1-y(n-r+1)]+ h2[y2-y(n-r+1)]+......+h(n-r)[y(n-r)-y(n-r+1)]
:
追问
问一下,,y1,y2......y(n-r+1)是不是每一个都可以作为AX=P一个特解的???
追答
是的.每一个:
X(i)= y(i)+ h1[y1-y(n-r+1)]+ h2[y2-y(n-r+1)]+......+h(n-r)[y(n-r)-y(n-r+1)]
i= 1,2,...,(n-r+1)
都是AX=P的通解.
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