Question

初三数学二次函数题

1、当X=1时，已知抛物线y=a²x+bx+c取最大值16 ，且它的图像在x轴上截得的线段长为8 ，求函数解析式。
2、把抛物线Y=a²x+bx+c向下平移1个单位，在像左平移5个单位时的顶点坐标为（2，0）且a+b+c=0，求a,b,c的值。

要全部的过程.非常感谢!我很急用!

Answer 1

1）x=1时，函数最大值为16，说明 a+b+c=16，
且 x=1 是函数图像的对称轴，
因此，由它的图像在x轴上截得的线段长为8知，它与x轴的两个交点为（-3，0），（5，0），
即 9a-3b+c=0，25a+5b+c=0，
解得 a=-1，b=2，c=15，
因此，y=-x^2+2x+15。

2）把点（2，0）向右平移5个单位，再向上平移1个单位，得（7，1），
因此，抛物线的顶点为（7，1）。
设 y=a(x-7)^2+1，由 a+b+c=0 得 a(1-7)^2+1=0，所以 a=-1/36，
所以 y=-1/36*(x-7)^2+1=-1/36*x^2+7/18*x-13/36，
则 a=-1/36，b=7/18，c=-13/36。

追问

顶点坐标打错了，应该是（-2，0）可以在帮我解答一下么，谢谢。

追答

按反向平移，可得顶点（3，1），
设 y=a(x-3)^2+1，因为 a+b+c=0，
所以 a(1-3)^2+1=0，解得 a=-1/4，
所以 y=-1/4*(x-3)^2+1=-1/4*x^2+3/2*x-5/4，
则 a=-1/4，b=3/2，c=-5/4。

Answer 2

1）x=1时，函数最大值为16，说明 a+b+c=16，
且 x=1 是函数图像的对称轴，a《0
因此，由它的图像在x轴上截得的线段长为8知，它与x轴的两个交点为（-3，0），（5，0），
即 9a-3b+c=0，25a+5b+c=0，
解得 a=-1，b=2，c=15，
因此，y=-x^2+2x+15。

Answer 3

1.
在x轴截得线段长为8 且x=1为对称轴
所以抛物线必过（-3,0） （5,0）
最容易的方法 加上还过（1,16）
带入原方程解得a=-1 b=2 c=15
或者可以利用和x轴的两点自己设y=k(x+3)(x-5) 把（1,16）带入解得k=-1
所以y=-x²+2x+15

2.
把（2,0）向右平移5个单位得到（7,0）
向上平移一个单位得到（7,1）
即为顶点坐标
所以a(x-7)²=1
ax²-14ax+49a-1=0
所以b=-14a
c=49a-1

又因为a+b+c=0
所以a-14a+49a=1
a=1/36
b=-7/18
c=13/36

追问

顶点坐标打错了，应该是（-2，0）可以在帮我解答一下么，谢谢。