Question

如图，抛物线y=x2-2x-3与x轴交A、B两点（A点在B点左侧），直线l与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2

（1）求A、B两点的坐标及直线AC的函数表达式；
（2）P是线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求线段PE长度的最大值；
（3）点G抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、C、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

1 y=(x-1)^2-4 则 A （-1，0） B（3，0） C（2，-3） AC解析式为y=-x-1
PE=P点纵坐标-E点纵坐标=-x-1-x^2+2x+3=-(x-1/2)^2+9/4 x属于[-1，2]因为可取1/2 所以最大值9/4

2 分析A F2点关系 要么四边形邻点 要么对点 （1）若为邻点 必有AF//GC 因为AF为X轴 所以GC//x轴 再加上G为抛物线上的点 所以容易得G为（0，-3）要想四边形是平行四边形 FG和AC必互相平分 即有公共中心 容易得F=（1，0）
（2）若为对点 且想四边形是平行四边形 那么G C2点必关于AF对称 所以G点纵坐标必为3 则G为（1+根号7，3）或者（1-根号7，3） 来求2点 对应不同的F 只需满足AF和CG有公共的中心 具体解多少不求了 方法跟（1）雷同

Answer 2

1 y=(x-1)^2-4 则 A （-1，0） B（3，0） C（2，-3） AC解析式为y=-x-1
PE=P点纵坐标-E点纵坐标=-x-1-x^2+2x+3=-(x-1/2)^2+9/4 x属于[-1，2]因为可取1/2 所以最大值9/4

2 分析A F2点关系 要么四边形邻点 要么对点 （1）若为邻点 必有AF//GC 因为AF为X轴 所以GC//x轴 再加上G为抛物线上的点 所以容易得G为（0，-3）要想四边形是平行四边形 FG和AC必互相平分 即有公共中心 容易得F=（1，0）

Answer 3

解：（1）令y=0，解得x1=-1或x2=3
∴A（-1，0）B（3，0）
将C点的横坐标x=2代入y=x2-2x-3得y=-3
∴C（2，-3）
∴直线AC的函数解析式是y=-x-1；
（2）设P点的横坐标为x（-1≤x≤2）
则P、E的坐标分别为：P（x，-x-1）
E（（x，x2-2x-3）
∵P点在E点的上方，PE=（-x-1）-（x2-2x-3）=-x2+x+2
∴当 x=12时，PE的最大值= 94；

（3）存在4个这样的点F，分别是F1（1，0），F2（-3，0），F3（4+ 7，0），F4（4- 7，0）．