Question

解一道数学题，高手进

在 个球里有一个假球，其他 个球为“好球“，好球的重量都相等，假球的重量与好球不同（是不同，不是轻，也不是重），你能否用天平称三次把假球称出来。

对了加分
这里是题目！！！！！！！！！！！！

在n 个球里有一个假球，其他(n-1) 个球为“好球“，好球的重量都相等，假球的重量与好球不同（是不同，不是轻，也不是重），你能否用天平称三次把假球称出来。 (n的值为11，12，13时该怎么称）

不是称重量，要把假球从所有球里，用天平找出来！！！！！！！
快行动，随便，解释一下，解释一下

请高手帮助，怎么想也不出来，我好想知道这道题的答案，请大家帮助

教师节快到了，要一首，关于老师的歌，谢谢

Answer 1

把这12个球画上ABCDEFGHIJKL符号，第一次ABCD-┬-EFGH

⑴如果第1次两边相等（假球就是IJKL其中之一）

第2次IJ-┬-KA

①第2次两边相等时假球就是L

第3次比较L和A看看比真球轻还是重

②第2次两边不相等时假球就是IJK其中之一

第3次比较I和J如果两边相等 假球就是K 轻还是重在称第2次时 如果IJ这边重的话 那么假球就是轻

相反假球就重

第3次比较如果两边不相等 在称第2次时 如果IJ这边重的话 那么假球就是重 相反假球就轻

⑵如果第一次不相等 而是左边重（反过来也一样）

①第2次ABE-┬-CDF

第2次两边相等时 剩下的两个（GH）当中哪个轻就是假币 还有一次称下就会知道

②第2次左边重时 A或B哪个重 或F轻 3选1 所以在称一次就明白了

右边重的时候也一样 所以不管怎么样只要称3次就会找出假球………………

Answer 2

称球问题算法分析
称球问题是中学生计算机竞赛中经常碰到的一类问题，下面我们就称球问题的算法分析一下。
�问题：设有n
个形状相同的球，其中有一个球的重量和其他的球不同，我们称此球为坏球，同时有一个无刻度无砝码的天平，要求用天平称最少的次数找出此坏球。下面分两种情况分别讨论。�
一、坏球比一般球重（轻的情况类似）�
n（球的个数）称法（每次称时，天平两边球数相同）�10次称重，本身为坏球，不用称�21次称重，称两个球，较重的球为坏球�31次称重，称两个球�（1）若平衡，则未称的球为坏球�（2）不平衡，则较重的球为坏球�由上可知，1次可保证称出坏球的球总数最多为3。�42次称重，第一次称两个球�（1）若平衡，坏球在未称的2个球中，第二次称这2个球，较重者为坏球�（2）不平衡，较重者为坏球�……�92次称重，第一次称6个球�（1）若平衡，则坏球在未称的三个球中，从上面n
＝3的情况可知，再称一次可称出坏球�（2）不平衡，则坏球在较重的一边，同样再称一次可称出坏球�由上可知，2次最多能保证称出总数为9个球中的坏球。可以推导出球的总数（n）和最少称重次数（k）的关系的一般公式为：�k＝log
3（n
－1）＋1（其中表示向下取整运算）�例如3次最多可称出27个球中的坏球，称法为第一次先称18个球：�（1）若平衡，则坏球在未称的9个球中，同时9个球最多称2次即可找出坏球；�（2）不平衡，则坏球在较重的9个球中，同时9个球最多称2次即可找出坏球。
�二、未知坏球的轻重

�这类问题较上面的情况要复杂得多，如下：�n（球的个数）称法�10次，即本身是坏球，不用称�2不可能问题，无论如何都称不出坏球�32次称重，第一次称①②两球，③不称�可能出现三种情况：（1）相等，③为坏球�（2）①＜②，此时①轻或②重�第二次称①③：平衡，②为坏球（重）不平衡，①为坏球（轻）（3）①＞②，情况类似（2）�42次称重，第一次称①②两球，③④不称�（1）平衡，则坏球在③④中，①②为好球�第二次称①③：平衡，则④为坏球；不平衡，则③为坏球�（2）不平衡，则①②中有一个坏球，③④为好球第二次称①③：平衡，则②为坏球；不平衡，则①为坏球可以看出，2次最多能保证称出4个球中的坏球。
�在此情况下，球的总数（n）和最少称重次数（k）的关系的一般公式为：k＝log 3（2n）＋1�例如n
＝13时，log3（2＊13）＋3，即3次可称出。算法如下：�第一次称①②③④和⑤⑥⑦⑧8个球，⑨⑩不称。可能出现三种情况：�Ⅰ平衡，则①②③④⑤⑥⑦⑧为好球，坏球在⑨⑩中。�第二次称⑨⑩和①，又可能有三种情况：�（1）平衡，则坏球在中。�第三次称①和：平衡，则为坏球；不平衡，则为坏球。�（2）⑨⑩〉①，则此时有两种可能性：�A
⑨⑩中有一个重的；B
为轻的。�第三次称⑨和⑩：平衡，则为坏球；不平衡，则重者为坏球。�（3）⑨⑩＜①，方法与2类同。�Ⅱ①②③④＞⑤⑥⑦⑧此时可知⑨⑩为好球，且有两种可能：�①②③④中有一个重的，或⑤⑥⑦⑧中有一个轻的。�第二次称⑨⑩⑤④和③⑥⑦8个球，①②⑧不称。此时又有三种情况：�（1）平衡，则坏球在①②⑧中。�第三次称①和②：平衡，⑧为坏球；不平衡，重者为坏球。�（2）⑨⑩⑤④＞③⑥⑦，可知⑤③①②⑧均为好球，坏球在④⑥⑦中。�第三次称⑥和⑦：平衡，坏球为④；不平衡，轻者为坏球。�（3）⑨⑩⑤④＜③⑥⑦，可知在③⑤中有一个坏球。�第三次称③和⑩：平衡，⑤为坏球；不平衡，③为坏球。�Ⅲ①②③④＜⑤⑥⑦⑧，其方法与Ⅱ类同。�由上面的例子可以看出求解称球问题的算法基本上是将球分成大体相等的三份，其中两份数目相同用于第一次称重，第三份球的个数与前两份的个数最多相差一个，这样就可以尽快地把坏球限制在最小的范围里。另外还要充分利用球的轻重和球的搭配。掌握了这些基本技巧，加以灵活运用，就可以解决各种类型的称球问题。下面我们再看一个例子。�在n
＝5的情况下：�1．若不知球的重量，也无好球作标准，最多需要三次可称出坏球。算法如下：�第一次称①②和③④：�
称球问题——经典智力题推而广之三

异调

说明

这篇文章试图给出称球问题的一个一般
的和严格的解答。正因为需要做到一般和严
格，就要考虑许多平时遇不到的特别情形，
所以叙述比较繁琐。如果对读者对严格的证
明没有兴趣，可以只阅读介绍问题和约定记
号的第一、第二节，以及第三节末尾27个球
的例子，和第五节13个球和40个球的解法。
事实上所有的技巧都已经表现在这几个例子
里了。

一、问题

称球问题的经典形式是这样的：

“有十二个外表相同的球，其中有一个坏球，它的重量和其它十
一个有轻微的（但是可以测量出来的）差别。现在有一架没有砝码的
很灵敏的天平，问如何称三次就保证找出那个坏球，并知道它比标准
球重还是轻。”

这可能是网上被做过次数最多的一道智力题了。它的一种解法如
下：

将十二个球编号为1-12。

第一次，先将1-4号放在左边，5-8号放在右边。
1.如果右重则坏球在1-8号。
第二次将2-4号拿掉，将6-8号从右边移到左边，把9-11号放
在右边。就是说，把1,6,7,8放在左边，5,9,10,11放在右边。
1.如果右重则坏球在没有被触动的1,5号。如果是1号，
则它比标准球轻；如果是5号，则它比标准球重。
第三次将1号放在左边，2号放在右边。
1.如果右重则1号是坏球且比标准球轻；
2.如果平衡则5号是坏球且比标准球重；
3.这次不可能左重。
2.如果平衡则坏球在被拿掉的2-4号，且比标准球轻。
第三次将2号放在左边，3号放在右边。
1.如果右重则2号是坏球且比标准球轻；
2.如果平衡则4号是坏球且比标准球轻；
3.如果左重则3号是坏球且比标准球轻。
3.如果左重则坏球在拿到左边的6-8号，且比标准球重。
第三次将6号放在左边，7号放在右边。
1.如果右重则7号是坏球且比标准球重；
2.如果平衡则8号是坏球且比标准球重；
3.如果左重则6号是坏球且比标准球重。
2.如果天平平衡，则坏球在9-12号。
第二次将1-3号放在左边，9-11号放在右边。
1.如果右重则坏球在9-11号且坏球较重。
第三次将9号放在左边，10号放在右边。
1.如果右重则10号是坏球且比标准球重；
2.如果平衡则11号是坏球且比标准球重；
3.如果左重则9号是坏球且比标准球重。
2.如果平衡则坏球为12号。
第三次将1号放在左边，12号放在右边。
1.如果右重则12号是坏球且比标准球重；
2.这次不可能平衡；
3.如果左重则12号是坏球且比标准球轻。
3.如果左重则坏球在9-11号且坏球较轻。
第三次将9号放在左边，10号放在右边。
1.如果右重则9号是坏球且比标准球轻；
2.如果平衡则11号是坏球且比标准球轻；
3.如果左重则10号是坏球且比标准球轻。
3.如果左重则坏球在1-8号。
第二次将2-4号拿掉，将6-8号从右边移到左边，把9-11号放
在右边。就是说，把1,6,7,8放在左边，5,9,10,11放在右边。
1.如果右重则坏球在拿到左边的6-8号，且比标准球轻。
第三次将6号放在左边，7号放在右边。
1.如果右重则6号是坏球且比标准球轻；
2.如果平衡则8号是坏球且比标准球轻；
3.如果左重则7号是坏球且比标准球轻。
2.如果平衡则坏球在被拿掉的2-4号，且比标准球重。
第三次将2号放在左边，3号放在右边。
1.如果右重则3号是坏球且比标准球重；
2.如果平衡则4号是坏球且比标准球重；
3.如果左重则2号是坏球且比标准球重。
3.如果左重则坏球在没有被触动的1,5号。如果是1号，
则它比标准球重；如果是5号，则它比标准球轻。
第三次将1号放在左边，2号放在右边。
1.这次不可能右重。
2.如果平衡则5号是坏球且比标准球轻；
3.如果左重则1号是坏球且比标准球重；

够麻烦的吧。其实里面有许多情况是对称的，比如第一次称时的
右重和右轻，只需考虑一种就可以了，另一种完全可以比照执行。我
把整个过程写下来，只是想吓唬吓唬大家。

稍微试一下，就可以知道只称两次是不可能保证找到坏球的。如
果给的是十三个球，以上的解法也基本有效，只是要有个小小的改动，
就是在这种情况下，在第一第二次都平衡的时候，第三次还是有可能
平衡（就是上面的第2.2.2步），那么我们可以肯定坏球是13号球，可
是我们没法知道它到底是比标准球轻，还是比标准球重。如果给的是
十四个球，我们会发现无论如何也不可能只称三次，就保证找出坏球。

一个自然而然的问题就是：对于给定的自然数N，我们怎么来解有
N个球的称球问题？

在下面的讨论中，给定任一自然数N，我们要解决以下问题：
⑴找出N球称球问题所需的最小次数，并证明以上所给的最小次数的确
是最小的；
⑵给出最小次数称球的具体方法；
⑶如果只要求找出坏球而不要求知道坏球的轻重，对N球称球问题解决
以上两个问题；

还有一个我们并不是那么感兴趣，但是作为副产品的问题是：
⑷如果除了所给的N个球外，另外还给一标准球，解决以上三个问题。
称球问题——经典智力题推而广之三 异调

Answer 3

平分，再平分，直到最后一个

Answer 4

平分，再平分，直到最后一个

Answer 5

能的 我们刚做过的阿

Answer 6

这题不难啊,,同意楼上的.