Question

一道初三数学压轴题 请数学高手帮忙做做，十分感谢

已知等腰三角形ABC中，AC=BC，AF∥BC，线段CF的垂直平分线DE与AB交于点E，连接EF、EC。（1）若∠ACB=90°（如图1），求证：∠FEC=2∠B；（2）若∠ACB<90°（如图2），则∠FEC与∠B的数量关系为______；（3）在（1）的条件下，延长BA、CF交于点N（如图3），若BC=6，AF=2，求EN的长？

数学大侠们有时间的麻烦写详细点，没时间的点拨一下就行，太感谢了！

Answer 1

楼上的证明有些神奇啊，角FEC=角CEF？这不是同一个角么？

（1）取AB中点G，
连接DG，则为梯形ABCF中位线，平行AF、BC，
连接CG，则三线合一CG垂直AB，而DE垂直CF易得CDEG四点共圆
那么角ECD=角EGD=角B=45度，进而推得角FEC=90度=2角B
（2）角FEC=180度-2角B=角ACB
类似取AB中点G
连接DG，则为梯形ABCF中位线，平行AF、BC，
连接CG，则三线合一CG垂直AB，而DE垂直CF易得CDEG四点共圆
圆内接四边形以内角度数等于对角外角，角ECF=角DEA=角B
那么角FEC=180度-2角B=角ACB
（3）由已知条件和（1）中结论，勾股定理易得CF=2倍根号10，则ED=根号10，
由平行比例可得CN=3FN，FN=根号10，DN=2倍根号10，
勾股定理EN=5倍根号2

Answer 2

1、因DE为线段CF的垂直平分线，所以三角形CEF为等边直角三角形，∠CEF=90°,而因∠ACB=90°，且AC=BC，所以∠B=45°,，所以到得论证：∠FEC=2∠B。
2、∠FEC=180°-∠FCE-∠EFC;
∠FCE=∠BCF-∠BCE=180°-∠AFC-∠BCE;
∠EFC=∠AFC-∠AFE;
所以∠FEC=180°-∠FCE-∠EFC=180°-180°+∠AFC+∠BCE-∠AFC+∠AFE
=∠BCE+∠AFE=180°-∠EFC-∠ECF=∠CEF
得到论证。
3、我就不详细讲解了，就说下好了，首先我们知道了三角形ACB为直角等边三角形，且
BC=6，所以相应的其余的边和角的长度都知道了，并且三角形CAF也为直角三角形，其角和长度都知道了；
由上述几步我们知道了∠AFC、∠EDF和∠EAF,且知道了边DE的长度；
所以通过三角定理就可以得到边EN的长度了。
希望能够帮助你！

Answer 3

6