Question

已知方程a^x=x+a(a＞0且a≠1)有两解,则a的取值范围为多少

Answer 1

解：
设y=f(x)=a^x , y=g(x)=x+a
方程a^x=x+a(a＞0且a≠1)的解，指数曲线y=f(x)与直线y=g(x)的交点
∵ f'(x)=a^xlna g'(x)=1>0
当0<a<1 时 lna<0 a^x>0 ∴ f‘(x)<0 f(x) 单调减, g(x) 单调增，故此时只有一个交点
当a>1时， lna>0 a^x>0 ∴ f‘(x)>0 f(x) 单调增 g(x)=x+a，单调增 则可能有另个交点
∵ f(-a)-g(-a)=a^(-a)-(-a+a)=a^(-a)>0
f(0)-g(0)=1-(0+a)=1-a<0
∴ f(x)与g(x) 在（-a，0）区间有一个交点
再分析x>0的区域
令h(x)=f(x)-g(x)= a^x-x-a
h'(x)=a^xlna-1
h''(x)=a^xln²a+a^x/x=a^x(ln²a+1/x)>0
∴ h'(x)是单调增
则 存在点x0>0 使得当x>x0时 h'(x)>0
即 当x∈（x0，+∞）h(x)单调增，则存在点x1，使得h(x1)=f(x1)-g(x1)>0
∵ f(0)-g(0)<0
则在（0，x1] f(x)与g(x)有一个交点
所以 a的取值范围为：(1,+∞)

Answer 2

原方程拆方程组：y=a^x y=x+a 因为原方程有两解 所以该方程组有两个交点…… （接下来就该会了吧） 丶★