Question

高中数学中一道关于椭圆的题目，求解！！！

已知椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a＞b＞0)的离心率为 √6/3，短轴的一个端点到右焦点的距离为√3
1 求椭圆的方程
2 设直线l与椭圆C交于A,B两点，坐标原点O到直线l的距离为√3/2，求⊿AOB的面积的最大值。。

第二问除了死算之外有没有简便的方法！！！！！！！！！！！！！求大师们指导！！！

Answer 1

分析：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，依题意求出a，b的值，从而得到所求椭圆的方程．
（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2）．（1）当AB⊥x轴时， |AB|=3．（2）当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y=kx+m．
由已知 |m|1+k2=32，得 m2=34(k2+1)．把y=kx+m代入椭圆方程，整理得（3k2+1）x2+6kmx+3m2-3=0，然后由根与系数的关系进行求解．
解答：解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，依题意 {ca=63a=3∴b=1，∴所求椭圆方程为 x23+y2=1．
（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2）．
（1）当AB⊥x轴时， |AB|=3．
（2）当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y=kx+m．
由已知 |m|1+k2=32，得 m2=34(k2+1)．
把y=kx+m代入椭圆方程，整理得（3k2+1）x2+6kmx+3m2-3=0，
∴ x1+x2=-6km3k2+1， x1x2=3(m2-1)3k2+1．
∴|AB|2=（1+k2）（x2-x1）2
= (1+k2)[36k2m2(3k2+1)2-12(m2-1)3k2+1]
= 12(k2+1)(3k2+1-m2)(3k2+1)2
= 3(k2+1)(9k2+1)(3k2+1)2
= 3+12k29k4+6k2+1
= 3+129k2+1k2+6(k≠0)≤3+122×3+6=4．
当且仅当 9k2=1k2，即 k=±33时等号成立．当k=0时， |AB|=3，
综上所述|AB|max=2．∴当|AB|最大时，△AOB面积取最大值 S=12×|AB|max×32=32．

Answer 2

(1) b^2+c^2=3, a^2=b^2+c^2=3 a=√3 c=√2 b=1 所以椭圆方程x^2/3+y^2=1
(2) AB弦垂直于横轴时面积最大， 把√3/2代入椭圆方程求得AB点坐标（√3/2，,√3/2）
所以最大面积为3/4.

怎么可能呢，椭圆面积一共多大，就算是以长轴做圆，面积比椭圆大吧，不过9π呀
另外，AB与横轴平行时面积也是这么大小 3/4.

我觉得还是我这答案靠谱