Question

初中相似三角形数学问题

再矩形ABCD中，E是AD中点。EF垂直EC交AB于F，连接FC。（AB大于AF）1,三角形AEF与三角形EFC是否相识，证明或说明理由。2，设AB:BC=K.是否存在这样的K值使AEF相似于BFC，证明 图就不花了谢谢谢谢

Answer 1

考点：相似三角形的判定；矩形的性质．专题：探究型．分析：（1）要求两三角形相似，已知条件有一组直角，我们只需再证得一组对应角相等即可得出两三角形相似，根据FE⊥EC，因此∠AEF和∠DCE都是∠DEC的余角，因此∠AEF=∠DCE，我们只要再得出∠BCE=∠FCD即可，可通过构建全等三角形来求解，延长FE交CD于G，我们不难得出△AEF和△GED全等，那么EF=EG，再根据一组直角和一条公共边我们可得出△FEC和△GEC全等，即可得出∠FCE=∠GCE也就得出了∠AEF=∠ECF，于是就凑齐了两三角形相似的条件．

（2）要想使两三角形相似，已知的条件有一组直角，那么分两种情况进行讨论：

当∠AFE=∠FCB时，那么∠AFE就和∠BFC互余，因此∠EFC就是直角，而∠FEC也是直角因此这种情况是不成立的．

当∠AEF=∠FCB时，AE：BC=AF：BF，那么由于E是AD中点，因此BC=2AE，所以我们可得出BF=2AF，即AB=3AF，又根据（1）中AF=GD，AB=CD，我们可在△CEG中根据△EGD和△EDC相似，得出关于GD、ED、DC的比例关系，也就是AF、AB、AE的比例关系，有了AB=3AF，就能求出ED与AF的比例关系，也就求出了BC与AF的比例关系，以AF为中间值即可得出AB与BC的比例关系，也就求出了k的值．解答：解：（1）△AEF∽△ECF．证明如下：

延长FE与CD的延长线交于G，

∵E为AD的中点，AE=DE，∠AEF=∠GED，

∴Rt△AEF≌Rt△DEG．∴EF=EG．

∵CE=CE，∠FEC=∠CEG=90°，

∴Rt△EFC≌Rt△EGC．

∴∠AFE=∠EGC=∠EFC．

又∠A=∠FEC=90°，

∴Rt△AEF∽Rt△ECF．

（2）设AD=2x，AB=b，DG=AF=a，则FB=b-a，

∵∠GEC=90°，ED⊥CD，

∴ED2=GD•CD

∴x2=ab，

假定△AEF∽△BFC，则有两种情况：

一是∠AFE=∠BCF；则∠AFE与∠BFC互余，于是∠EFC=90°，因此此种情况是不成立的．

二是∠AFE=∠BFC．

根据△AEF∽△BFC，

于是： AF除以AE= BFBC，即 a除以x= b-a除以2x，得b=3a．

所以x2=ab=3a2，因此x= 3a，

于是k= AB除以BC= b除以2x= 3a除以（2乘根号3a）= 根号3除以2．点评：本题主要考查了相似三角形以及全等三角形的判定和性质，根据相似三角形得出相关线段间的比例关系是解题的关键．

Answer 2

1 相似，角A=角FEC,角AEF=角DCE.
2 不存在，证明：三角形AEF相似于DCE,反证法如果AEF相似于BFC，则BFC相似于DCE，则三角形FEC不存在，所以不存在该k值。

Answer 3

如图所示

Answer 4

根号2
根据三边的比率为根号2
则2除以根号2结果为根号2