Question

已知:如图,在三角形ABC中,角C=90度,AD是角BAC的平分线,DE垂直BC,DF平行AB，求证：AD与EF互相垂直平分．

Answer 1

如图所示: 

因DE平行AC，DF平行AB

所以AFDE是平行四边形。

又因为AD是∠BAC的角平分线，所以∠DAC=∠DAB=∠FDA，有DF＝FA

平行四边形是菱形，AD与EF互相垂直平分。

Answer 2

证明：
∵DE⊥BC，∠ACB=90º，即AC⊥BC
∴DE//AC
∵DF//AB
∴四边形AFDE是平行四边形
∵DF//AB
∴∠FDA=∠BAD
∵∠CAD=∠BAD【AD平分∠BAC】
∴∠FDA=∠CAD
∴AF=FD
∴四边形AFDE是菱形【邻边相等的平行四边形是菱形】
∴AD与EF互相垂直平分【菱形对角线互相垂直平分】

Answer 3

首先：DE平行AC，DF平行AB，则AFDE是平行四边形，又因为AD是脚BAC的角平分线，所以<DAC=<DAB=<FDA,则DF＝FA，则平行四边形是菱形，则AD与EF互相垂直平分。

Answer 4

<DEB=<BAD+<ADE
DE∥AC
所以<DEB=<A=2<DAE
所以<DAE=<BAD
所以 AE=DE
又 DF∥AB DE∥AC 所以四边形AFED是平行四边形
且邻边相等 所以AFED是菱形
菱形的对角线互相垂直 所以AD⊥EF