Question

锐角三角形ABC中三边长为a,b,c，p是三角形ABC外接圆为圆心,PE⊥BC于E,PF⊥AC于F，PG⊥AB于G，则

三角形ABC中三边长为a,b,c，p是三角形ABC外接圆为圆心,PE⊥BC于E,PF⊥AC于F，PG⊥AB于G，则PE:PF:PG的值

Answer 1

锐角三角形外心在三角形内，
设外接圆半径=R，在三角形PBC中，S△PBC=PE*BC/2=PB*PC*sin<BPC/2,，
PB=PC=R,〈BPC=2A，（圆心角是同弧圆周角的2倍），
PE*BC=R^2sin2A,
PE*BC=R^2*2sinAcosA,(1)
同理，PF*AC=R^2sin2B,
PF*AC=R^2*2sinBcosB,(2)
PG*AB=R^2sin2C,
PG*AB=R^2*2sinCcosC,(3)
(1)/(2)式，PE*BC/（PF*AC）=（sinA*cosA)/(sinB*cosB)=（cosA/cosB)*(sinA/sinB)
PE/PF（BC/AC）*(sinB/sinA)=cosA/cosB,
而根据正弦定理，BC/sinA=AC/sinB,BC*sinB=AC*sinA,
故得：PE/PF=cosA/cosB,
同理可得：PF/PG= cosB/cosC,
所以PE:PF:PG=cosA:cosB:cosC.

Answer 2

我擦 N年前小case 现在不行了 忘完了

Answer 3

cosA:cosB:cosC

Answer 4

完全看不懂。