Question

如图在平行四边形ABCD中 AE⊥BC,AF⊥CD垂足分别为E.F,∠EAF=45°，且AE+AF=2√2则平行四边形ABCD的周长是

Answer 1

解
∵平行四边形ABCD
∴AB∥CD，AD∥BC
∵AE⊥BC,AF⊥CD
∴AE⊥AD,AF⊥AB
∵∠EAF=45°
∴∠BAE=45°，∠DAF=45°
∴AB＝AE×√2, AD＝AF×√2
∵ABCD周长＝2（AB+AD）
＝2（AE×√2+ AF×√2）
＝2√2（AE+AF）
∴AE+AF＝2√2
∴ABCD周长＝2√2×2√2＝8

追问

可不可以设xy做？

追答

等量关系不好找，更麻烦，一定要用方程吗？

Answer 2

因为AE垂直BC于E
所以角AEB=角AEC=90度
因为AF垂直DC于F
所以角AFD=角AFC=90度
所以角AEC+角AFC=180度
所以A.E.C.F四点共圆
所以角EAF+角C=180度
因为角EAF=45度
所以角C=135度
因为ABCD是平行四边形
所以AB=CD AD=BC
AD平行BC
AB平行CD
所以角D+角C=180度
角B+角C=180度
所以角B=45度 角D=45度
因为角AEB=90度(已证）
因为角B+角BAE+角AEB=180度
所以角BAE=45度
所以角BAE=角B
所以BE=AE
AB^2=BE^2+AE^2
所以AB=根号2*AE
同理可证：DF=AF
AD=根号2*AF
所以AB+AD=根号2*(AE+AF)
因为AE+AF=2倍根号2
所以平行四边形的周长=2（AB+AD)=8