Question

已知:四边形ABCD内接于园O,AC垂直BD于E,DF垂直AB于F,交AC于G,∠BAD=45°,BE=2,DE=3,求四边形ABCD的面积

Answer 1

解：∵AC⊥BD    DF⊥AB

∴∠AFG=∠AEF=90°

∴∠1+∠2=∠3+∠4=90°

又∵∠2=∠3

∴∠1=∠4

又∵∠BAD=45°

∴∠ADF=45°

∴∠ADF=∠BAD

∴AF=DF

∴Rt△AFG≌Rt△DFB

∴AG=BD=2+3=5

又∵∠CDB=∠1(同弧所对的圆周角相等)

∴∠4=∠CDB

又∵∠CED=∠GED=90°  DE=DE

∴△CED≌△GED

∴CE=GE

∴BE*DE=AE*CE

即2*3=AE(AE+5)     ∴AE=1

∴AC=5+1+1=7

∴四边形ABCD的面积=S△ABC+S△ADC=1/2*AC*BE+1/2AC*DE=1/2*AC(BE+DE)

                     =1/2×7×(2+3)=17.5

追问

谢谢。AE=1应为CE=1或GE=1.

追答

对，我没注意写错了，我本来是写CE=1的。

Answer 2

作OD、OE半径
∠BAD=45
∠BOD=90°
△OBD为直角等腰三角形
圆半径R=(2^0.5/2)*DE=(2^0.5)/2*5
作过O点平行AC的直线交圆为M、N
MN与AC的距离L=0.5
AC=(R^2-L^2)^0.5*2=7
ABCD面积= △ABC +△ADC=2*7/2+3*7/2=17.5