Question

在△ABC中,角A,B,C的对边为a,b,c且2asinA=(2b-c)sinB+(2c-b)sinC,若A=6,求三角形ABC周长的最大值

Answer 1

解：由正弦定理，sinA=a/(2R)，sinB=b/(2R)，sinC=c/(2R)
代入，消去R，得2a^2=(2b-c)b+(2c-b)c，化简，得a^2=b^2+c^2-bc≥2bc-bc=bc
所以bc≤36
(b+c)^2=b^2+c^2+2bc=(b^2+c^2-bc)+3bc=36+3bc≤144
得b+c≤12
即三角形ABC周长的最大值为18，此时a=b=c=6

Answer 2

sinA=a/(2R)，sinB=b/(2R)，sinC=c/(2R)
得2a^2=(2b-c)b+(2c-b)c，=a^2=b^2+c^2-bc≥2bc-bc=bc
所以bc≤36
(b+c)^2=b^2+c^2+2bc=(b^2+c^2-bc)+3bc=36+3bc≤144
得b+c≤12
即三角形ABC周长的最大值为18，此时a=b=c=6