Question

已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0),椭圆上存在一点P，使角F1PF2=120°，求椭圆的离心率的范围

Answer 1

设P为(m,n),则PF1=a+em ,PF2=a-em
因为(2c)^2 = (a+em)^2+(a-em)^2-2(a+em)(a-em)*cos120° (余弦定理）
所以4c^2 = 2a^2 + 2(em)^2 -a^2+(em)^2
即4c^2 ＝3a^2 +(em)^2
因为m^2＜a^2
所以4c^2＜3a^2 +e^2*a^2 ,即4e^2≤3+e^4
解得：e^2＜1　，0＜e＜1 （椭圆的离心率没其它限制）

Answer 2

解：设，P（x1，y1），F1（-c，0），F2（c，0），c＞0，
则|PF1|=a+ex1，|PF2|=a-ex1．
在△PF1F2中，由余弦定理得 cos120°=-12=(a+ex1)2+(a-ex1)2-4c22(a+ex1)(a-ex1)，
解得 x12=4c2-3a2e2．
∵x12∈（0，a2]，
∴ 0≤4c2-3a2e2＜a2，
即4c2-3a2≥0．且e2＜1
∴ e=ca≥32．
故椭圆离心率的取范围是 e∈[32，1)．