Question

已知椭圆的中心在原点，焦点在x上，离心率为根号3/2，且经过点M(4,1)直线L:y=x+m交椭圆与A,B两个不同的点

若直线L不过点M,求证直线MA,MB与x围成一个等腰三角形

Answer 1

解：（1）设椭圆方程为 x2a2+y2b2=1，因为 e=32，所以a2=4b2，又椭圆过点M（4，1），所以 16a2+1b2=1，解得b2=5，a2=20，故椭圆方程为 x220+y25=1（5分）
（2） 将y=x+m代入 x220+y25=1并整理得5x2+8mx+4m2-20=0，△=（8m）2-20（4m2-20）＞0得：5＞m＞-5．
设直线MA，MB斜率分别为k1和k2，只要证k1+k2=0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则 x1+x2=-8m5，x1x2=4m-205
k1+k2=y1-1x1-4+y2-1x2-4=(y1-1)(x2-4)+(y2-1)(x1-4)(x1-4)(x2-4)
分子=（x1+m-1）（x2-4）+（x2+m-1）（x1-4）
=2x1x2+（m-5）（x1+x2）-8（m-1）
2(4m2-20)5-8m(m-5)5-8(m-1)=0
因此MA，MB与x轴所围的三角形为等腰三角形．

Answer 2

先画一张草图