Question

不定积分问题，求解

∫dx/(1+x)^3/2
∫dx/1+(2x)^1/2
∫dx/(1+e^x)^1/2

谢谢了
一点都不会写求帮助

Answer 1

第一题：
令1＋x＝y，则x＝y－1，∴dx＝dy。
∴原式＝∫［1/y^（3/2）］dy＝∫y^（－3/2）dy＝（－3/2＋1）y^（－3/2＋1）＋C
　　　＝－（1/2）√y＋C＝－（1/2）√（1＋x）＋C。

第二题：
令√（2x）＝y，则：2x＝y^2，∴dx＝2ydy。
∴原式＝∫［1/√（1＋y）］（2y）dy＝2∫［（1＋y－1）/√（1＋y）］dy
　　　＝2∫√（1＋y）d（1＋y）－2∫［1/√（1＋y）］d（1＋y）
　　　＝2×（1/2＋1）（1＋y）√（1＋y）－2ln｜√（1＋y）｜＋C
　　　＝3［1＋√（2x）］√［1＋（2x）］－ln［1＋√（2x）］＋C。

第三题：
令e^x＝y，则：x＝lny，∴dx＝（1/y）dy。
∴原式＝∫［1/√（1＋y）］（1/y）dy。
再令√（1＋y）＝u，则：1＋y＝u^2，∴y＝u^2－1，∴dy＝2udu。
∴原式＝∫（1/u）［1/（u^2－1）］（2u）du＝2∫｛1/［（u＋1）（u－1）］｝du
　　　＝∫｛［（u＋1）－（u－1）］/［（u＋1）（u－1）］｝du
　　　＝∫［1/（u－1）］du－∫［1/（u＋1）］du
　　　＝ln｜u－1｜－ln｜u＋1｜＋C
　　　＝ln｜√（1＋y）－1｜－ln｜√（1＋y）－1｜＋C
　　　＝ln｜√（1＋e^x）－1｜－ln｜√（1＋e^x）＋1｜＋C。