Question

关于微积分

复合函数的微积分怎么求

Answer 1

Mathematica算得的结果：
原函数为：
(1/6 + x/2) Sqrt[1 + 2 x + 3 x^2] + ArcSinh[(1 + 3 x)/Sqrt[2]]/(
3 Sqrt[3])
带入积分上下限，结果为：
1/18 (-12 Sqrt[6] + 21 Sqrt[17] + 2 Sqrt[3] ArcSinh[7/Sqrt[2]] -
2 Sqrt[3] ArcSinh[2 Sqrt[2]])

原来这个积分可以通过变量代换化为sqrt(x^2+1)dx的形式，令x=sinh(t)，dx=sinh(t)dt,sqrt(x^2+1)=cosh(t)，
所以可以化为cosh^2(t)dt=1/4(e^2t+e^(-2t)+2)=1/2*cosh(2t)+1/2
积分得1/4sinh(2t)+t/2，然后再用t=Arcsinh(x)替换即可。当然Arcsinh(x)也有解析表达式，不过带入后会非常繁琐

Answer 2

设3x2+2x+1为u即：u=3x2+2x+1 原式就变为