Question

物理题（这个微分方程怎么解啊）

一个线密度为λ的很长的柔软的绳子，绳子一端系着质量为m的小球，把绳子和小球盘在光滑桌子的边缘上（忽略大小和形状），小球从桌子边缘自由下落，带动绳子下落，求小球下落x距离后小球的速度v

Answer 1

这道题由于具有一定速度的球和部分绳子带动速度为0的部分绳子一起运动，相当于完全非弹性碰撞，机械能并不守恒，所以不能用机械能守恒来解。
系统运动部分的动量P=(λx+m)V
而受力为 F=(λx+m)g
由冲量定理得动量对时间微分就是受力
即P'=F有 λx'V+λxV'+mV' = (λx+m)g
把x'=V代入上式并整理得 V' = g - (λV²) / (λx + m)
用V' = dv/dt = dv/dx * dx/dt = dv/dx * V 代入上式消去时间t项得 dv/dx = g/V - (λV) / (λx + m)
解这个微分方程

追问

解出来是多少呢？

追答

看图

Answer 2

这个不用解微分方程吧？？？直接用能量守恒就能解决的

追问

听老师说用能量守恒和解微分方程做出来的答案是不一样的，因为能量守恒错了。。

Answer 3

由能量守恒 根据小球和绳子的重心变化列方程 一个方程即可解决问题
mgx+λxgλ/2=1/2(m+λx)v² 解出v即可

Answer 4

用高中的动量定理