Question

1.已知a是实数，求函数f(x)=x+a/x，x属于【1，5】最小值

Answer 1

解：若a≤0，x∈[1,5]时，f(x)=x+a/x为单调递增函数，故最小值为f(1)=1+a；
若a＞0，则f(x)=x+a/x=(√x-√a/√x)^2+2√a
解√x-√a/√x=0得x=√a
若1≤√a≤5，也即1≤a≤25时，f(x)的最小值即是f(√a)=2√a；
若0≤√a＜1，也即0≤a＜1时，√x-√a/√x＞0且单调递增，故f(x)=x+a/x的最小值即f(1)=1+a；
若√a＞5，也即a＞25时，f(x)=x+a/x=(√a/√x-√x)^2+2√a，√a/√x-√x＞0且单调递减，故f(x)的最小值为f(5)=5+a/5.
综上：
当a＜1时，f(x)=x+a/x的最小值即f(1)=1+a；
当1≤a≤25时，f(x)的最小值即是f(√a)=2√a；
当a＞25时，f(x)的最小值即是f(5)=5+a/5

Answer 2

若a≤0，则f(x)在[1,5]上为增函数，∴f(x)min=f(1)=1+a
若a>0,则f'(x)=(x+√a)(x-√a)/x²，f(x)的极值点为√a,
当1≤√a≤5，即1≤a≤25，∴f(x)min=f(√a)=2√a
当√a<1，即0<a<1,f(x)在[1,5]为增，f(x)min=f(1)=1+a
当√a>5,即a>25,f(x)在[1,5]为减，f(x)min=f(5)=5+ a/5=(a+25)/5

Answer 3

当a<=1时，f(x)=x+a/x是增函数,当x=1时，f(x)取得最小值1+a；
当1<a<=25时，f(x)在[1，√a）上是减函数，在（√a，5]上是增函数，
当x=√a时，f(x)取得最小值2√a；
当a>25时， f(x)在[1，5]上是减函数,当x=5时，f(x)取得最小值5+a/5.

Answer 4

f(x)=x+a/x≥2√(x*a/x)=2√a
函数f(x)=x+a/x最小值2√a.