Question

线段AB，CD 平面直角坐标系中的位置如图所示，O为坐标原点，若线段AB上一点P的坐标为（a,b）

线段AB，CD 平面直角坐标系中的位置如图所示，O为坐标原点，若线段AB上一点P的坐标为（a,b）则直线OP与线段CD 的交点的坐标为？

Answer 1

因为A(4,1),B(5,3)所以直线AB的方程为：y=2x-7,从而点P的坐标为（a,2a-7)。直线OP的方程为：y=(2-7/a)x.因为C(6,2)D(8,6),所以直线CD的方程为：y=2x-10。直线OP与线段CD相交，则交点坐标为(10a/7,20a/7-10)即（10a/7,10b/7)

Answer 2

直线OP的方程为y = bx/a          （1）

因为P在线段AB上，A(4,1), B(5,3), 所以 1/4≤ b/a≤ 3/5 (1/4和3/5分别是OA和OB的斜率).

C(6,2), D(8,6)

线段CD的方程为：(y-2)/(x-6) = (6-2)/(8-6) = 2, y = 2x-10 (6≤ x ≤ 8)        （2）

联立(1)(2): x = 10a(2a-b), y = 10b/(2a-b)

直线OP与线段CD的交点的坐标：(10a(2a-b), y = 10b/(2a-b))

且须满足1/4≤ b/a≤ 3/5及 6≤10a/(2a-b)≤8  （3）

(3)可变为: 3≤5a/(2a-b)≤4

3/5 ≤ a/(2a-b) ≤ 4/5

5/4 ≤ (2a-b)/a ≤ 5/3

5/4 ≤ 2 - b/a ≤ 5/3

-3/4 ≤ - b/a ≤ -1/3

1/3 ≤ b/a ≤ 3/4

结合1/4≤ b/a≤ 3/5， 可得1/3 ≤ b/a ≤ 3/5

即解为(10a(2a-b), y = 10b/(2a-b))， 1/3 ≤ b/a ≤ 3/5， 且4≤ a ≤ 5

Answer 3

直线OP的方程为y = bx/a （1）
因为P在线段AB上，A(4,1), B(5,3), 所以 1/4≤ b/a≤ 3/5 (1/4和3/5分别是OA和OB的斜率).
C(6,2), D(8,6)
线段CD的方程为：(y-2)/(x-6) = (6-2)/(8-6) = 2, y = 2x-10 (6≤ x ≤ 8) （2）
联立(1)(2): x = 10a(2a-b), y = 10b/(2a-b)
直线OP与线段CD的交点的坐标：(10a(2a-b), y = 10b/(2a-b))
且须满足1/4≤ b/a≤ 3/5及 6≤10a/(2a-b)≤8 （3）
(3)可变为: 3≤5a/(2a-b)≤4
3/5 ≤ a/(2a-b) ≤ 4/5
5/4 ≤ (2a-b)/a ≤ 5/3
5/4 ≤ 2 - b/a ≤ 5/3
-3/4 ≤ - b/a ≤ -1/3
1/3 ≤ b/a ≤ 3/4
结合1/4≤ b/a≤ 3/5， 可得1/3 ≤ b/a ≤ 3/5
即解为(10a(2a-b), y = 10b/(2a-b))， 1/3 ≤ b/a ≤ 3/5， 且4≤ a ≤ 5
(*^__^*) 嘻嘻

Answer 4

解：∵AB∥CD，且O，B，D三点在一条直线上，OB=BD
∴OP=PE
∴若点P的坐标为（a，b），
∴点E的坐标是（2a，2b）．
故答案为（2a，2b）．