dx/(x+根号下（1－x平方）)的不定积分
∫ 1/[x√(1 - x²)] dx
= ∫ 1/[x * √[x²(1/x² - 1)] dx
= ∫ 1/[x * |x| * √(1/x² - 1)] dx
= ∫ 1/[x²√(1/x² - 1)] dx
= - ∫ 1/√[(1/x)² - 1] d(1/x)
= - ln|1/x + √(1/x² - 1)| + C
= ln| x/[1 + √(1 - x²)] | + C
或设x = sinθ,dx = cosθ dθ,θ∈[- π/2,0)U(0,π/2]
∫ 1/[x√(1 - x²)] dx
= ∫ 1/[sinθ * |cosθ| ] * cosθ dθ
= ∫ 1/(sinθ * cosθ) * cosθ dθ
= ∫ cscθ dθ
= - ln| cscθ + cotθ | + C
= - ln| 1/x + √(1 - x²)/x | + C
= ln| x/[1 + √(1 - x²)] | + C
扩展资料：
根据牛顿-莱布尼茨公式，许多函数的定积分的计算就可以简便地通过求不定积分来进行。这里要注意不定积分与定积分之间的关系：定积分是一个数，而不定积分是一个表达式，它们仅仅是数学上有一个计算关系。
一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分，也可以存在定积分，而没有不定积分。连续函数，一定存在定积分和不定积分；若在有限区间[a,b]上只有有限个间断点且函数有界，则定积分存在；若有跳跃、可去、无穷间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。
过程如下：
令x＝siny，则：√（1－x^2）＝√［1－（siny）^2］＝cosy, y＝arcsinx, dx＝cosydy
原式＝∫［cosy/（siny＋cosy）］dy
＝∫｛cosy（cosy－siny）/［（cosy）^2－（siny）^2］｝dy
＝∫［（cosy）^2/cos2y］dy－∫（sinycosy/cos2y）dy
＝（1/2）∫［（1＋cos2y）/cos2y］dy－（1/2）∫（sin2y/cos2y）dy
＝（1/4）∫（1/cos2y）d（2y）＋（1/2）∫dy－（1/4）∫（sin2y/cos2y）d（2y）
＝（1/2）y＋（1/4）∫［cos2y/（cos2y）^2］d（2y）＋（1/4）∫（1/cos2y）d（cos2y）
＝（1/2）arcsinx＋（1/4）∫｛1/［1－（sin2y）^2］｝d（sin2y）＋（1/4）ln｜cos2y｜
＝（1/2）arcsinx＋（1/4）ln｜1－2（siny）^2｜＋（1/4）∫｛1/［（1＋sin2y）（1－sin2y）］｝d（sin2y）
＝（1/2）arcsinx＋（1/4）ln｜1－2x^2｜＋（1/8）∫［1/（1＋sin2y）］d（sin2y）＋（1/8）∫［1/（1－sin2y）］d（sin2y）
＝（1/2）arcsinx＋（1/4）ln｜1－2x^2｜＋（1/8）∫［1/（1＋sin2y）］d（1＋sin2y）－（1/8）∫［1/（1－sin2y）］d（1－sin2y）
＝（1/2）arcsinx＋（1/4）ln｜1－2x^2｜＋（1/8）ln｜1＋sin2y｜－（1/8）ln｜1－sin2y｜＋C
＝（1/2）arcsinx＋（1/4）ln｜1－2x^2｜＋（1/8）ln｜1＋2sinycosy｜－（1/8）ln｜1－2sinycosy｜＋C
＝（1/2）arcsinx＋（1/4）ln｜1－2x^2｜＋（1/8）ln｜1＋2x√（1－x^2）｜－（1/8）ln｜1－2x√（1－x^2）｜＋C
扩展资料：
定积分是一个数，而不定积分是一个表达式，它们仅仅是数学上有一个计算关系。一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分，也可以存在定积分，而没有不定积分。
连续函数，一定存在定积分和不定积分；若在有限区间[a,b]上只有有限个间断点且函数有界，则定积分存在；若有跳跃、可去、无穷间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。
∫ 1/[x√(1 - x²)] dx
= ∫ 1/[x * √[x²(1/x² - 1)] dx
= ∫ 1/[x * |x| * √(1/x² - 1)] dx
= ∫ 1/[x²√(1/x² - 1)] dx
= - ∫ 1/√[(1/x)² - 1] d(1/x)
= - ln|1/x + √(1/x² - 1)| + C
= ln| x/[1 + √(1 - x²)] | + C
或设x = sinθ,dx = cosθ dθ,θ∈[- π/2,0)U(0,π/2]
∫ 1/[x√(1 - x²)] dx
= ∫ 1/[sinθ * |cosθ| ] * cosθ dθ
= ∫ 1/(sinθ * cosθ) * cosθ dθ
= ∫ cscθ dθ
= - ln| cscθ + cotθ | + C
= - ln| 1/x + √(1 - x²)/x | + C
= ln| x/[1 + √(1 - x²)] | + C
扩展资料
一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分，也可以存在定积分，而没有不定积分。连续函数，一定存在定积分和不定积分；
若在有限区间[a,b]上只有有限个间断点且函数有界，则定积分存在；若有跳跃、可去、无穷间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。
∫x√（1+x^2）dx=1/3*（1+x^2）^（3/2）+C。（C为积分常数）
∫x√（1+x^2）dx
=1/2*∫（1+x^2）^（1/2）d（1+x^2）
=1/2*（2/3）（1+x^2）^（3/2）+C
=1/3*（1+x^2）^（3/2）+C（C为积分常数）。
扩展资料：
分部积分：
(uv)'=u'v+uv'，得：u'v=(uv)'-uv'。
两边积分得：∫ u'v dx=∫ (uv)' dx - ∫ uv' dx。
即：∫ u'v dx = uv - ∫ uv' d,这就是分部积分公式。
也可简写为：∫ v du = uv - ∫ u dv。
常用积分公式：
1）∫0dx=c
2）∫x^udx=(x^(u+1))/(u+1)+c
3）∫1/xdx=ln|x|+c
4）∫a^xdx=(a^x)/lna+c
5）∫e^xdx=e^x+c
6）∫sinxdx=-cosx+c
7）∫cosxdx=sinx+c
8）∫1/(cosx)^2dx=tanx+c
9）∫1/(sinx)^2dx=-cotx+c
10）∫1/√（1-x^2) dx=arcsinx+c
