Question

已知函数f(x)=-X^3+ax^2+bx,当X=-1时取得极小值,当X=2/3时取得极大值,求F(X)的解析式。

2）求函数在X=-2时的对应点的切线方程
。

Answer 1

（1）f'(x)=-3x²+2ax+b
因为当X=-1时取得极小值,当X=2/3时取得极大值，
所以：f'(-1)=f'(2/3)=0
即:-3-2a+b=0 ①
-3*4/9+2a*2/3+b=0 ②
①②联立解得：a=-1/2,b=2
所以：f(x)=-x^3-1/2x²+2x
（2）由（1）得：f'(x)=-3x²-x+2
所以，函数在X=-2时切线的斜率为：k=f'(-2)=-8
y=-x^3-1/2x²+2x=2
所以切点为：(-2,2)
所以，对应点的切线方程为：y-2=-8(x+2)
即：8x+y+14=0

Answer 2

(1)、f'(x)=-3x^2+2ax+b
当X=-1时取得极小值,当X=2/3时取得极大值
所以有：-1+2/3=2a/3 解得：a=-1/2
-1x2/3=-b/3 解得：b=2
所以有：f(x)=-x^3-x^2/2+2x
(2) 当x=-2时，f(-2)=8-2-4=2
f'(-2)=-12+2+2=-8
所以函数在X=-2时的对应点的切线方程为：
y=-8(x+2)+2=-8x-14

Answer 3

f(x)=-X^3+ax^2+bx
f'(x) = -3x^2+2ax+b=-3(x^2-2a/3 x-1/3 b)
当X=-1时取得极小值,当X=2/3时取得极大值
-1＜x＜2/3时函数单调增，f'(x)＞0，-x^2+2a/3 x+1/3 b可化为-(x+1)(x-2/3)=-x^2-1/3x+2/3
2a/3=-1/3，1/3 b = 2/3
a = - 1/2，b = 2
f(x) = - x^3 - 1/2 x^2 + 2x
f'(x) = -3x^2-x+2

x=-2时，y = -(-2)^3-1/2(-2)^2+2(-2) = 8-2-4 = 2
切线斜率k = f'(-2) = -3*(-2)^2-(-2)+2 = - 8
切线方程：y-2 = k(x+2) = -8(x+2)，即：y = -8x-14

Answer 4

f(x)=-X^3+ax^2+bx
f'(x)=-3x^2+2ax+b
当X=-1时取得极小值,当X=2/3时取得极大值
x=-1、x=2/3即为f'(x)=-3x^2+2ax+b=0的两根
代入得-3-2x+b=0
-4/3+4/3a+b=0
解得a=-1/2,b=2
f(x)=-X^3-1/2*x^2+2x
f'(x)=-3x^2-x+2
f(-2)=8-2-4=2
f'(-2)=-12+2+2=-8
X=-2时的对应点的切线方程为y-2=-8（x+2）
y=-8x-14

Answer 5

f'(x)=-3X^2+2ax+b
在极值点f'(x)=0
所以f'(-1)=0 f'(2/3)=0
-3*(-1)^2+2a*(-1)+b=0 即：-3-2a+b=0
-3*(2/3)^2+2a*(2/3)+b=0 即:-4/3+4/3*a+b=0
a= -1/2 b=2
f(x)=-X^3-1/2x^2+2x,,
X=-2时f(x)=2
切点为 （-2，2）
斜率为： k=f'(-2)=-3*4+2*(-1/2)*(-2)+2=-8
切线方程为 y-2=-8（x+2) 即： 8x+y+14=0