Question

已知椭圆

已知椭圆9x2+16y2=144 焦点为F1 F2 P是椭圆上一点 且 ∠F1PF2=60° 求△P F1 F2的面积

Answer 1

P为椭圆x^2/9+y^2/16=1上的一点，两焦点分别为F1、F2、若角F1PF2=60°，求三角形F1PF2的面积
解：椭圆方程：x²/9+y²/16=1
a=4,b=3,c²=a²-b²=7,c=√7
F1P+F2P=2a
F1P+F2P=8
F1P²+F2P²+2F1P*F2P=64
根据余弦定理
cosF1PF2=(F1P²+F2P²-F1F2²)/(2F1P*F2P)
cos60=(64-2F1P*F2P-4c²)/(2F1P*F2P)
1/2=(64-28-2F1P*F2P)/(2F1P*F2P)
F1P*F2P=36-2F1P*F2P
3F1P*F2P=36
F1P*F2P=12
S三角形F1PF2=1/2×F1P×F2P×sin60=1/2×12×√3/2=3√3

Answer 2

9x^2+16y^2=144
x^2/16+y^2/9=1
a^2=16,b^2=9
c^2=7
c=√7 F1F2=2c=2√7
F1PF2=60
F1F2^2=PF1^2+PF2^2-2PF1PF2*cosf1pf2=(PF1+PF2)^2-2PF1PF2(1+cos60)
PF1PF2=[(2*4)^2-(2√7)^2]/[2*(1+1/2)]
=36/3=12
Spf1f2=(1/2)PF1PF2sin60=(1/2)*12*(√3/2)=3√3