Question

高中数学第9题和第10题。两道都没思路，求助前辈们，谢谢啦

Answer 1

9.sinx+cosx=√2（cos π/4*sinx+sin π/4*cosx）=√2sin(π/4+x)=k

   sin(π/4+x)=k/√2    画出sin(π/4+x)在[0,π]上的图形就可以看出y=k/√2属于 (-1,-√2/2]∪[√2/2,1)  时有两个交点，所以k属于(-√2,-1]∪ [1,√2)

10.

Answer 2

9、sinx+cosx=√2sin(x+π/4)=k在[0,π]上有两个根，画出f(x)=√2sin(x+π/4)的函数图像，可知当且仅当√2/2＜k/√2＜1时，也即√2＜k/√2＜2时，方程sinx+cosx=√2sin(x+π/4)=k在[0,π]上才有两个根。
10、两个方程为
x+sinx=π/2 ①
x+arcsinx=π/2 ②
依题意，有
x1+sinx1=π/2 ③
x2+arcsinx2=π/2 ④
对方程①，在同一平面直角坐标系中作出函数y=sinx与y=π/2 -x的图像，可知方程①的根x1必介于(0,π/2)且是唯一的。式③中，令sinx1=y，因x1∈(0,π/2)，故有x1=arcsiny，则有arcsiny+y=π/2 ，也即y+arcsiny=π/2 ⑤ 。
对方程②，考察函数f(x)=x+arcsinx，易知函数f(x)在定义域[-1,1]上为单调递增函数，则方程②的解必是唯一的，也即存在唯一解x2∈(0,1)，满足x2+arcsinx2=π/2，即式④。观察式⑤和式④，由解得唯一性知y=x2=sinx1。结合式③即x1+x2=π/2 。

Answer 3

9题 √2SIN(X+4/π)（提出系数根号2 后面的sin和cos前都有了个√2/2 把它看做sin45 cos45）
10题 把方程换个写法sinx=π/2-x, arcsinx=π/2-x.可以看出x1，x2分别是sinx和它的反函数和π/2-x的交点的横坐标 设这两个交点分别为（x1，y1），（x2，y2）可以看出y1=x2，y2=x1.又根据其中任意一个方程 可看出x1+x2=x1+y1=π/2