Question

求不定积分（用第二类换元积分法）三题求解求解

(1)∫dx/x^2√1+x^2;
(2)∫√1-x^2/1+x dx;
(3)∫x^2/√25-4x^2 dx.

姐姐真的不会做啊~~~~~

Answer 1

(1)
∫dx/[x²√(x²+1)]
Let x=tanθ => dx=sec²θ dθ，sinθ=x/√(x²+1)
= ∫(sec²θ)/(tan²θ*secθ) dθ
= ∫secθ/tan²θ dθ
= ∫1/cosθ * cos²θ/sin²θ dθ
= ∫1/sinθ * cosθ/sinθ dθ
= ∫cscθ*cotθ dθ
= -cscθ + C
= -√(x²+1) / x + C

(2)
∫√(1-x²)/(1+x) dx
= ∫√(1+x)√(1-x)/(1+x) dx
= ∫√[(1-x)/(1+x)] dx
令t²=(1-x)/(1+x) => x=(1-t²)/(1+t²) => dx=-4t/(1+t²)² dt
原式= -4∫t²/(1+t²)² dt，令t=tanθ，dt=sec²θ dθ，sinθ=t/√(1+t²)，cosθ=1/√(1+t²)
原式= -4∫tan²θ/sec⁴θ * sec²θ dθ
= -4∫tan²θcos²θ dθ
= -4∫sin²θ dθ
= -2∫(1-cos2θ) dθ
= -2θ + 2*1/2sin2θ + C
= -2arctant + 2*t/(1+t²) + C
= -2arctan√[(1-x)/(1+x)] + 2√(1-x)/√(1+x) / [1+(1-x)/(1+x)] + C
= -2arctan√[(1-x)/(1+x)] + 2[√(1-x)/√(1+x) * (1+x)] / [(1+x)+(1-x)] + C
= -2arctan√[(1-x)/(1+x)] + √(1-x²) + C

(3)
∫x²/√(25-4x²) dx，令x=(5/2)sinθ => dx=(5/2)cosθ dθ，sinθ=2x/5，cosθ=√(25-4x²)/5
原式= (25/4)∫sin²θ/√(25-25sin²θ) * (5/2)cosθ dθ
= (125/8)(1/5)∫sin²θ/cosθ * cosθ dθ
= (25/8)(1/2)∫(1-cos2θ) dθ
= (25/16)(θ-1/2*sin2θ) + C
= (25/16)arcsin(2x/5) - (25/16)*2x√(25-4x²)/25 + C
= (25/16)arcsin(2x/5) - (1/8)x√(25-4x²) + C

妹会做，多厉害。

Answer 2

1，令X=sec t；
2，令X=cos t
3，分母提取√25后，令X=（5/2）cos t
步骤太麻烦，没法写

Answer 3

我说一下思路1，令X=sec x；2，配方，3，令分母=t，其余的步骤再变形，哥不做了，都12点了，困死了。你掌握方法多做几道就有感觉了。不定积分就得练