Question

在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图像的顶点为D点，交y轴于C点，叫x轴于A.B两点

A在原点左侧，B点的坐标为（3，0），OB=OC，OC=3QA
(2)经过C、D两点的直线，与X轴交于点E，在该抛物线上是否存在这样的点F，使点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形?若存在，请求出F的坐标，若不存在，请说明理由。

（3）若平行于X轴的直线与该抛物线交于M、N两点，且以MN为直径的圆与X轴相切，求该圆半径的长度。

（4）如图，若点G（2，y）是该抛物线上一点，点P是直线AG下方的抛物线上一动点，当点P运动到什么位置时，△APG的面积最大，求出此时p的坐标和△APG的最大面积。

Answer 1

(1) 显然抛物线开口向上，C在x轴下方，OB=OC，C(0, -3); OC = 3OA, A(-1, 0)

抛物线可表达为 y = a(x+1)(x-3), 其常数项为-3a = -3, a = 1

y = x² - 2x -3

(2)

y = x² - 2x -3 = (x-1)² -4

顶点D(1, -4)

CD的方程：(y+3)/(x-0) = (-4+3)/(1-0)

y = -x-3

E(-3, 0)

要使AECF为平行四边形，CF//EA （x轴），且CF=EA即可

C,F的纵坐标相等：x² - 2x -3 = -3 

x = 0（舍去，为C）

x = 2

F(2, -3)

CF = 2 = EA

(3)显然圆心在对称轴x = 1上，设为P(1, r), r为半径

x² - 2x -3 = r 解为x = 1±√(r+4)

MN为其横坐标之差，即2√(r+4) = 2r

r = (1±√17)/2

(4) ???

Answer 2

(2)F(2,-3),F( ,3),F( ,3)
(3)r=（-1+根号17）/2，r=(1+根号17)/2
(4)P(1/2,-15/4),s=27/8