Question

已知△ABC中，AB=AC,圆O是△ABC的外接圆，D是弧AB上一点，连DA、DB、DC

一数学问题：已知△ABC中，AB=AC,圆O是△ABC的外接圆，D是弧AB上一点，连DA、DB、DC。若角BAC=60°，则线段DC、AD、BD之间的数量关系为？
（求详细证明过程）

Answer 1

DC=AD+BD

证明：延长AD至E使DE=DB，连接EB
∵⊿ABC是有一个角为60º的等腰三角形
∴⊿ABC是等边三角形
∴∠ABC=60º ∠ACB=60º
∠EDB=∠ACB=60º 【学过圆内接四边形，由外角得出；没学过也可以由圆周角的相等推出】
∴⊿DEB是等边三角形（有一个60º角的等腰三角形）
∵∠AEB=∠CDB=60º(∠CDB=∠CAB,同弧）∠EAB=∠DCB(同弧） AB=CB
∴⊿AEB≌⊿CDB （角，角，边）
∴DC=EA=AD+DE=AD+BD

Answer 2

解
∵AB=AC
∴∠ABC＝∠ACB
∵∠BAC＝60°
∴∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°,AB=BC=AC
∵∠ADC与∠ABC所对应圆弧均为弧AC
∴∠ADC＝60°
∵∠BDC与∠BAC所对应圆弧均为弧BC
∴∠BDC＝60°
∴BC²=BD²+DC²-2BD*DC*cos∠BDC
=BD²+DC²-2BD*DC*1/2
=BD²+DC²-BD*DC
AC²=AD²+DC²-2AD*DC*cos∠ADC
=AD²+DC²-2AD*DC*1/2
=AD²+DC²-AD*DC
∴BD²+DC²-BD*DC= AD²+DC²-AD*DC
∴BD²-AD²=(BD-AD)*DC
∴(BD+AD)(BD-AD)=(BD-AD)*DC
∴BD+AD=DC

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Answer 3

D 是不是AB弧的中点