Question

设双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1(a＞0，b＞0）的一条准线与两条渐近线交于A,B两点，相应焦点为F，若

△ABF为正三角形，求双曲线的离心率

Answer 1

离心率e=2

解：详见图片，我画图写出来了，有一步没写详细，就是A、B在准线上，则横坐标为准线的坐标为a^2/c,将横坐标代入渐近线方程y=(b/a)*x,就可以得纵坐标为a*b/c。

Answer 2

来个标准的~><

解：由题意作图，联立准线方程x=a²/c与渐近线方程y=b/ax，得

    A(a²/c,ab/c),B(a²/c,-ab/c)

       所以AF=ab/c,

       CF=c-a²/c=b²/c

       又因为∠FAB=60°，所以CF=√3AF,

       ab/c=√3b²/c,因为b＞0，所以b=√3a,

       因为a²+b²=c²，所以c²=4a²,

       e²=4,e=2.