Question

21、如图（1），△ABC与△EFD为等腰直角三角形

21、如图（1），△ABC与△EFD为等腰直角三角形，AC与DE重合，AB=AC=EF=9，∠BAC=∠DEF=90°，固定△ABC，将△DEF绕点A顺时针旋转，当DF边与AB边重合时，旋转中止．现不考虑旋转开始和结束时重合的情况，设DE，DF（或它们的延长线）分别交BC（或它的延长线）于G，H点，如图（2）
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（1）问：始终与△AGC相似的三角形有 及 ；
（2）设CG=x，BH=y，求y关于x的函数关系式（只要求根据图（2）的情形说明理由）；
（3）问：当x为何值时，△AGH是等腰三角形．

Answer 1

解：（1）∵△ABC与△EFD为等腰直角三角形，AC与DE重合，

∴始终与△AGC相似的三角形有△HAB和△HGA；

（2）∵△AGC∽△HAB，

∴AC：HB=GC：AB，即9：y=x：9，

∴y=81/x，（0＜x＜ 9√2）

（3）∵∠GAH=45°，分两种情况讨论：

①当∠GCH=45°时，GA=GH，△AGH是等腰三角形，如图（1）可知GH=CG=x= 9√2/2

②当AG=AH时，△AGH是等腰三角形，如图（2）可知

∠AGC=∠AHG=∠C+∠CAH=∠HAG+∠CAH=∠CAG，∴x=CG=CA=9．

③当∠HGA=45°，CA=CG，△AGH是等腰三角形，x=CG=CB=9√2．

Answer 2

解：（1）∵△ABC与△EFD为等腰直角三角形，AC与DE重合，
∵∠HAG=∠B=45°，∠H+∠HAC=45°，∠HAC+∠CAG=45°，
∴∠H=∠CAG，
∴△HAB∽△HGA，
∴始终与△AGC相似的三角形有△HAB和△HGA；
故答案为：△HAB和△HGA．
（2）∵△AGC∽△HAB，
∴AC：HB=GC：AB，即9：y=x：9，
∴y=81：x（0＜x≤9+922），
答：y关于x的函数关系式为y=81：x（0＜x≤9+922）．

（3）∵∠GAH=45°，分两种情况讨论：
①当∠GAH=45°是等腰三角形的底角时，如图（1）：

∵AC=9，在等腰直角三角形ACG中，CG=AG，根据勾股定理得：AC2=CG2+AG2，
∴CG=AG=922；
当∠GAH=45°是等腰三角形的底角时，如下图：

此时点B，点G与点E重合，
∵AB=AC=9，在等腰直角三角形ACG中，CG=BC，根据勾股定理得：CG2=AB2+AC2，
∴CG=92；
②当∠GAH=45°是等腰三角形的顶角时如图（2）：由△HGA∽△HAB，
∵AG=AH，
∴∠AHG=∠AGH=12（180°-45°）=67.5°，
∴∠BAH=180°-∠B-∠AHB=67.5°=∠AHG，
∴HB=AB=9，
同理AC=CG，
∴BG=HC，
可得：CG=x=9．
答：当x为922、92或9时，△AGH是等腰三角形．
不是百度里的

Answer 3

（1）、△HAB  △HGA；

（2）、由△AGC∽△HAB，得AC/HB=GC/AB，即9/y=x/9，故y=81/x (0<x<)

（3）因为：∠GAH= 45°

①当∠GAH= 45°是等腰三角形.的底角时，如图（1）：可知CG=x=/2

②当∠GAH= 45°是等腰三角形.的顶角时, 如图（2）：由△HGA∽△HAB

知：HB= AB=9，也可知BG=HC，可得：CG=x=18-

            图（1）

图（2）

Answer 4

如图所示，△ABC，△ADE为等腰直角三角形，∠ACB=∠AED=90°．
（1）如图1，点E在AB上，点D与C重合，F为线段BD的中点．则线段EF与FC的数量关系是EF=FC；∠EFD的度数为90°；
（2）如图2，在图1的基础上，将△ADE绕A点顺时针旋转到如图2的位置，其中D、A、C在一条直线上，F为线段BD的中点．则线段EF与FC是否存在某种确定的数量关系和位置关系？证明你的结论；
（3）若△ADE绕A点任意旋转一个角度到如图③的位置，F为线段BD的中点，连接EF、FC，请你完成图3，并直接写出线段EF与FC的关系（无需证明）．

解：（1）EF=FC，90°．

（2）延长CF到M，使CF=FM，连接DM、ME、EC
∵FC=FM，∠BFC=∠DFM，DF=FB，
∴△BFC≌△DFM，
∴DM=BC，∠MDB=∠FBC，
∴MD=AC，MD∥BC，
∵ED=EA，∠MDE=∠EAC=135°，
∴△MDE≌△CAE，
∴ME=EC，∠DEM=∠CEA，
∴∠MEC=90°，
∴EF=FC，EF⊥FC

（3）EF=FC，EF⊥FC．

Answer 5

【解】（1）△HGA及△HAB；
（2）由（1）可知△AGC∽△HAB
∴ ，即 ，
所以，
（3）当CG＜ 时，∠GAC=∠H＜∠HAC，∴AC＜CH
∵AG＜AC，∴AG＜GH
又AH＞AG，AH＞GH
此时，△AGH不可能是等腰三角形；
当CG= 时，G为BC的中点，H与C重合，△AGH是等腰三角形；
此时，GC= ，即x=
当CG＞ 时，由（1）可知△AGC∽△HGA
所以，若△AGH必是等腰三角形，只可能存在AG=AH
若AG=AH，则AC=CG，此时x=9
综上，当x=9或 时，△AGH是等腰三角形

Answer 6

【解】（1）△HGA及△HAB；
（2）由（1）可知△AGC∽△HAB
∴ ，即 ，
所以，
（3）当CG＜ 时，∠GAC=∠H＜∠HAC，∴AC＜CH
∵AG＜AC，∴AG＜GH
又AH＞AG，AH＞GH
此时，△AGH不可能是等腰三角形；
当CG= 时，G为BC的中点，H与C重合，△AGH是等腰三角形；
此时，GC= ，即x=
当CG＞ 时，由（1）可知△AGC∽△HGA
所以，若△AGH必是等腰三角形，只可能存在AG=AH
若AG=AH，则AC=CG，此时x=9