Question

已知函数f（x）=a的x方-1／a的x次方+1 a＞1 判断f（x）的奇偶性 和f（x）的值域

证明 f（x）在区间（-无穷，正无穷）上为增函数

Answer 1

∵f(x)＝(a^x－1)/(a^x＋1) ∴f(﹣x)＝[a^(﹣x)－1]/[a^(﹣x)＋1]＝(1－a^x)/(1＋a^x)＝﹣f(x)
∴f(x)是奇函数
∵f(x)＝(a^x－1)/(a^x＋1)＝1－2/(a^x＋1) ∵a＞1 ∴a^x＞1 ∴0＜1/(a^x＋1)＜1/2
∴﹣1＜﹣2/(a^x＋1) ＜0 ∴0＜1－2/(a^x＋1) ＜1 ∴f(x)∈(0，1)
设x1＜x2
∵f(x1)－f(x2)＝[1－2/(a^x1＋1)]－[1－2/(a^x2＋1)]＝2[1/(a^x2＋1)－1/(a^x1＋1)]
∵a＞1 x1＜x2 ∴0＜a^x1＜a^x2 ∴a^x2＋1＞a^x1＋1
∴1/(a^x2＋1)＜1/(a^x1＋1) ∴1/(a^x2＋1)－1/(a^x1＋1)＜0
∴f(x1)－f(x2)＝2[1/(a^x2＋1)－1/(a^x1＋1)]＜0 ∴f(x1)＜f(x2)
∴ f（x）在区间（-无穷，正无穷）上为增函数

Answer 2

解答