Question

设函数f（x）=ax^2-bx+2（a≠0），对于任意实数x，都有f（1/a+x）=f（1/a-x）成立

(1)求b的值
（2）若对于1＜x＜4的一切实数x的值，都有f（x）＞0，求实数a的取值范围

Answer 1

(1)抛物线f（x）=ax^2-bx+2（a≠0）的对称轴x=b/2a
由f（1/a+x）=f（1/a-x）知对称轴x=1/a
所以b=2
(2)f(x)=ax^2-2x+2>0
ax^2>2x-2
a>2/x-2/x^2对于任意x∈(1,4)都成立
也就是说a比2/x-2/x^2在x∈(1,4)的最大值还大
下面我们求2/x-2/x^2在x∈(1,4）上的最大值
2/x-2/x^2
=-2(1/x^2-1/x)
=-2[(1/x-1/2)^2-1/4]
当x=1时，函数达到最大为0
所以只要a>0函数f(x)=ax^-2x+2对于任意x∈(1,4)都有f(x)>0