Question

高二理科数学题目，求解

①已知椭圆方程x²+4y²=36,则以点（1,2）为中点的弦所在直线方程是：
②x>0,y>0，x²+（y²/2）=1，则x√(1+y²)的最大值为

Answer 1

解1、(设而不求思想)设A(x1，y1)B(x2，y2)在椭圆x²+4y²=36,上，且AB中点是（1,2）则
x1+y1=2
x2+y2=4
又A(x1，y1)B(x2，y2)在椭圆x²+4y²=36,上则
x1²+4y1²=36————①
x2²+4y2²=36-----------②
①-②得（x1²+4y1²）-（x2²+4y2²）=0
整理得（x1-x2）-4（y1-y2）=0
从而中点的弦所在直线方程斜率是：k=（y1-y2）/（x1-x2）=-0.125
直线方程：y-2=-0.125（x-1）
即：x+8y-17=0
2、因为x²+（y²/2）=1
所以x²=1-（y²/2）
所以x√(1+y²)=√x²(1+y²)=√(1-（y²/2）)(1+y²)
=√(1-（y²/2）)(1+y²)
令y²=t（t>0）则√(1-（y²/2）)(1+y²)=√(-0.24(t-1)²+1.25)<=0.5√5
当且仅当t=1，也就是y=1时取等号
所以当y=1.x=0.5√2时x√(1+y²)取到最大值0.5√5

Answer 2

(1)设A(x1,y1)B(x2,y2)
那么x1²+4y1²=36 x2²+4y2²=36 作差
（x1+x2）（x1-x2）+4（y1+y2）（y1-y2）=0 其中中点（1，2）
那么x1+x2=2 y1+y2=4 代入
得 （x1-x2)+8(y1-y2)=0 由对称性知道x1≠x2 所以k=y1-y2/x1-x2=-1/8
y=-1/8(x-1)+2
这种方法叫设点作差法。好好体会，高中解析几何经常用到的东西
(2)因为x²+（y²/2）=1，则 2x²+y²=2 所以我们这样配方
x√(1+y²)=[√2x²（1+y²）]/√2≤[2x²+（1+y²）]/2√2=3√2/4
等号成立的条件自己思考， 还可以用三角换元法
令x=sinα y=cosα/√2 α∈（0，π/2）

Answer 3

这是个例题吧。。。。。看看书不就好了，三年没看书了，忘了