Question

已知。如图，在三角形ABC中，D是边AB上的一点，且AD=AC，DE平行于BC，CD平分角EDF 求证：AF垂直平分CD

Answer 1

证明：角CDE=∠DCF=∠FDC
由此可以判定出FD=FC
由AF=AF AD=AC
由此可以判定出△ADF≌△ACF
即 ∠DAF=∠CAF
根据 对称的原理
即可得证
AF垂直平分CD

证明：
∵CD平分∠EDF
∴∠EDC=∠FDC
∵DE//BC
∴∠EDC=∠DCF
∴∠DCF=∠FDC
∴CF=DF
又∵AC=AD，AF=AF
∴⊿ACF≌⊿ADF（SSS）
∴∠CAF=∠DAF
即AF是等腰三角形ACD的顶角平分线，根据三线合一，角平分线也是底边的中垂线
∴AF垂直平分CD

追问

已知；如图在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D在AC的垂直平分线上。（1）求证：∠1=∠A（2）∠2=∠B吗？如果相等请给出证明，如果不相等，只需写出结论

Answer 2

证明：
∵CD平分∠EDF
∴∠EDC=∠FDC
∵DE//BC
∴∠EDC=∠DCF
∴∠DCF=∠FDC
∴CF=DF
又∵AC=AD，AF=AF
∴⊿ACF≌⊿ADF（SSS）
∴∠CAF=∠DAF
即AF是等腰三角形ACD的顶角平分线，根据三线合一，角平分线也是底边的中垂线
∴AF垂直平分CD

追问

在△ABC中，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，F是AB的中点，FG⊥DE于点G
求证：∠DFG=∠EFG

追答

证明：
∵AD⊥BC，BE⊥AC
∴⊿ABD和⊿ABE都是直角三角形
∵F是AB的中点，则DF和EF分别是Rt⊿ABD和Rt ⊿ABE的斜边中线
∴DF=½AB，EF=½AB
∴DF=EF，即⊿DEF是等腰三角形
∵FG⊥DE
∴FG平分∠DFE【等腰三角形三线合一】
∴∠DFG=∠EFG

Answer 3

证明：角CDE=∠DCF=∠FDC
由此可以判定出FD=FC
由AF=AF AD=AC
由此可以判定出△ADF≌△ACF
即 ∠DAF=∠CAF
根据 对称的原理
即可得证
AF垂直平分CD

追问

已知；如图在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D在AC的垂直平分线上。（1）求证：∠1=∠A（2）∠2=∠B吗？如果相等请给出证明，如果不相等，只需写出结论.