Question

对于函数f(x)=ax^2+(b+1)x+b-2(a不等于0),若存在实数x0，使f(x0)=x0成立，则称x0为f(x)的不动点

1）当a=2，b=-2时，求f（x）的不动点；2)当a=2时函数f(x)在（-2,3）内有两个不同的不动点，求实数b的取值范围；
（3）若对于任何实数b，函数f（x）恒有两相异的不动点，求实数a的取值范围；

Answer 1

解∵f（x）=ax2+（b+1）x+b-2（a≠0），
（1）当a=2，b=-2时，f（x）=2x2-x-4．
设x为其不动点，即2x2-x-4=x．
则2x2-2x-4=0．∴x1=-1，x2=2．即f（x）的不动点是-1，2．
(2) 当a=2时，有f(x)=2x^2+(b+1)x+b-2
令f（x）=x，即2x^2+(b+1)x+b-2=x
得 2x^2+bx+b-2=0
要使函数在（-2,3）内有两个不同的不动点，则
Δ＞0且两根的取值范围都在（-2,3）之间
（3）由f（x）=x得：ax2+bx+b-2=0．
由已知，此方程有相异二实根，△x＞0恒成立，
即b2-4a（b-2）＞0．
即b2-4ab+8a＞0对任意b∈R恒成立．
∴△b＜0．，
∴16a2-32a＜0，
∴0＜a＜2．

Answer 2

1、当a=2，b=-2时，有f（x）=2x^2-x-4
令f（x）=x，即2x^2-x-4=x
解得x=-1，或者x=2
所以，此时f（x）的不动点为：x=-1和x=2
2、当a=2时，有f(x)=2x^2+(b+1)x+b-2
令f（x）=x，即2x^2+(b+1)x+b-2=x
得 2x^2+bx+b-2=0
要使函数在（-2,3）内有两个不同的不动点，则
Δ＞0且两根的取值范围都在（-2,3）之间

Answer 3

（1）f(-1)=-1,f(2)=2, 所以(-1,-1)和(2,2)
（2）（3）不会做了