Question

高三数学难题设函数f(x)=-x(x-a)²（x∈R+）

设函数f(x)=-x(x-a)²（x∈R+）
(1)求函数f(x)的极大值和极小值；
（2）当a＞3，在区间[-1,0]上是否存在实数k，使不等式f(k-cosx)≥f（k²-cos²x）对任意的x∈R恒成立？若存在，求出k的值，若不存在，说明理由。
【【求详解，很急】】

Answer 1

1）f'(x)=-(x-a)^2-2x(x-a)=-(x-a)(3x-a)=0, 得x=a, a/3
f"(x)=-2(3x-2a)
f"(a)=-2a, f"(a/3)=2a
因此若a>0, 则极大值为f(a)=0, 极小值为f(a/3)=-4a^3/27
若a<0, 则极大值为f(a/3)=-4a^3/27, 极小值为f(a)=0
若a=0, 则不存在极值点。
2）a>3, 则极大值为f(3)=0, 极小值为f(1)=-4
k-cosx<=1, k^2-cos^2 x<=1
因x<1时，函数单调减。因此有：k-cosx<=k^2-cos^2 x
即(k-cosx)(1-k-cosx)<=0
因此有两种情况：
k-cosx<=0, 1-k-cosx>=0, 即k<=1-cosx，k<=cosx对任意x成立，此时只能取k=-1
k-cosx>=0, 1-k-cosx<=0, 即k>=cosx, k>=1-cosx,对任意x成立。此时k无解
综合得;k=-1