Question

如图1，在边长为4的正方形ABCD中，点P在AB上从A向B运动，连接PD交AC于点Q 试证明：无论点P运动到AB

用初二的方法。快

如图1，在边长为4的正方形ABCD中，点P在AB上从A向B运动，连接PD交AC于点Q
试证明：无论点P运动到AB上的何处时，都有△ADQ≌△ABQ；
当点P在AB上运动到什么位置时，△ADQ的面积是正方形面积的1/6？
若点P从A运动到点B，再继续在BC上运动到点C，在整个运动过程中，当点P运动到什么位置时，△ADQ恰好为等腰三角形？

Answer 1

1、两边一角 AQ=AQ AB=AD=4 角DAQ=角BAQ=45度 所以两个三角形全等。
2、做QE垂直于AD △DQE相似于△DPA △ADQ面积=AD*QE/2 正方形面积=AD*AB △ ADQ的面积是正方形面积的1/6 则QE=AB/3=4/3 △AQE是等腰直角三角形 则AQ=QE=4/3 DQ=AD-AQ=8/3 △DQE相似△DPA中 DQ/AD=QE/AP 带入数据 得
8/3 /4= 4/3 /AP 故AP=2 因为AB=4 则P点正好运动到AB的中点
3、假设△ADQ恰好为等腰三角形
P在 ABC上运动 首先当AD=QD=4时 Q与C点刚好重合 所以P运动到C点 △ADQ为等腰三角形；
当P运动到B点时，AQ=QD △ADQ为等腰直角三角形；
当AD=AQ=4时 △ADQ与△CPQ相似 则PC=CQ=AC-AQ=4√2 -4 则P运动到距离C点4√2 -4时
△ADQ为等腰三角形

Answer 2

解：①∵ABCD为正方形，
∴AB=BC=CD=DA ，AC=BD
②∵PD交AC于点Q，
∴ Q在AC线段上，∠DAQ=BAQ=45°∠ QDA=∠QBA=45°
由① ②可得知△ADQ △ABQ都为等腰三角形， 而AD=AB，所以△ADQ≌△ABQ

Answer 3

（一）△ADQ≌△ABQ要证明这个。有两个已知条件了。两条边相等。只要证明这两条边的夹角相等就能证明了。可以先证明△BQC≌△DQC（显然成立QC共同边；BC和DC相等；夹角都是45度）就可以证明角BQC和角DQC相等。就能推出角AQB和角AQD相等，所以全等。