Question

如图，AD是三角形ABC的角平分线，延长AD角三角形ABC的外接圆O与点E，过C/D/E三点的圆O1

交AC得延长线与带你F，连接EF、DF。1）求证三角形AEF相似于三角形FED 2）若AD=6，DE=3，求EF得长

Answer 1

证明：

在圆O1中∠DFE=∠DCE(共弦)

在圆O中∠BCE=∠BAE(共弦)

∵AD平分∠BAC交圆O与E

∴∠BAE=∠EAF

∴∠DFE=∠EAF

∵∠AEF=∠FED(共角）

∴△AEF∽△FED

∴DE/EF=EF/AE

∵AD=6，DE=3，AE=AD+DE=9

∴3/EF=EF/9

       EF=±3√3 

取正值EF=3√3

Answer 2

1、证明
∵AD平分∠BAC
∴∠BAD＝∠CAD
∵∠BAE、∠BCE所对应圆O圆弧均为弧BE
∴∠BCE＝∠BAD
∵∠BCE、∠DFE所对应圆O1圆弧均为弧DE
∴∠DFE＝∠BCE
∴∠DFE＝∠CAF
∵∠AEF＝∠DEF
∴△AEF相似于△FED
2、解
∵△AEF相似于△FED
∴EF/DE＝AE/EF
∴EF²＝AE*DE
∵AD＝6,DE＝3
∴AE＝AD+DE＝9
∴EF²＝9*3＝27
∴EF＝3√3