Question

如图：△ABC中，AD平分∠BAC，∠B=2∠C，求证AB+BD=AC。

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Answer 1

证明：延长AB到E，使BE=BD,连接ED
∵BD=BE,所以∠E=∠BDE,而∠ABD=∠E+∠BDE
∴∠ABD=2∠E，又因为∠B=2∠C
又因为AD平分∠BAC，所以∠BAD=∠CAD
在△AED和△ACD中
∠E=∠C，∠BAD=∠CAD，AD=AD
所以△AED ≌△ACD
所以AE=AC
而AE=AB+BE,BE=BD
所以AB+BD=AC

Answer 2

在AC上取AE=AB,连接DE
∵AD平分∠BAC
∴∠BAD=∠DAE
∵AE=AB,∠BAD=∠DAE,AD=DA
∴△ABD≌RT△ADE(SAS)
∴DE=DB,∠B＝∠AED
∵∠B=2∠C，∠B＝∠AED
∴∠AED=2∠C
∵∠AED＝∠CDE+∠C
∴∠CDE+∠C=2∠C
∴∠CDE=∠C
∴DE=CE
∵DE=DB
∴CE=DB
∵AC=AE+CE,AE=AB,CE=DB,
∴AB+BD=AC。