Question

求解答二次函数的题！！

抛物线Y=MX2-4M(M>0)与Y轴交于A,B两点,(A点在B点得左边)与y轴交于C点,已知OC=2OA
求抛物线上是否存在一点P,使三角形PAC的内心在X轴上，求P点坐标。

貌似只有一个答案吧，好像不是双解

Answer 1

解：由抛物线Y=MX2-4M(M>0)，所以Y=M(X+2)(x-2)，所以A(-2,0)B(2,0)，由M>0，即C(0,-4)，所以，-4M=-4，M=1，即抛物线方程为y=x^2-4
因为三角形PAC的内心在X轴上，所以，只要使∠PAC的角分线与x轴重合即可，所以PA的斜率与CA的斜率互为相反数。所以PA的斜率为2。
所以PA方程为y=2(x+2)，联立抛物线方程，x=4或-2(与A重合，舍)，所以P(4,12)

Answer 2

令y=0，得x=-2,2。即A(-2,0)，B(2,0)。令x=0，得y=-4m。即C(0,-4m)。
由题知，OC=2OA，即4m=2*2，得m=1，抛物线y=x^2-4。
假设P点坐标(a,a^2-4)，三角形内心E坐标(b,0)。由内心定义知EP=EA=EC，
EA=b+2，EC=根号(b^2+16)，由EA=EC知，b=3，即内心E(3,0).
EP=根号((a-3)^2+(a^2-4)^2)=5，整理得，a(a+1)(a+2)(a-3)=0，解得a=-2,-1,0,3.
a=-2时，P点与A点重合，舍去；a=0时，P点与C点重合，舍去；
a=-1时，a^2-4=-3，得P(-1,-3)；a=3时，a^2-4=5，得P(3,5)。求出来真有两解。不好意思求成外心了。