Question

初三数学题：在平面直角坐标系中,O为坐标原点.二次函数y=-x²+bx+3的图象经过点A（-1，0）,顶点为B.

在平面直角坐标系中,O为坐标原点.二次函数y=-x²+bx+3的图象经过点A（-1，0）,顶点为B.
（1）已求出：y=-x^2+2x+3
（2）如果点C的坐标为（4，0），AE垂直于BC，垂足为E，点D在直线AE上，DE=1，求点D的坐标

大致思路+点D坐标！！（没写思路也要答案！！！！！！！！！）
必重谢之~~！！！
如图
D有两个解（一个在E上、一个在E下）

Answer 1

(1)二次函数y=-x²+bx+3的图象经过点A（-1，0）

⇒y=-x²+2x+3.

(2)配方，得

y=-x²+2x+3

=-（x-1)² +4

⇒顶点B为（1,4）。

又点A（-1,0），C（4,0）。

设点E为（x,y).

连接AB,AE.

作BG⊥AC于G.

⇒BG=4，

AC=5，

由两点间距离公式，得

AE²=(x+1)²+y²

⇒AE=√[(x+1)²+y²].

AB²=2²+4²=20，

BE²=(x-1)²+(y-4)².

而△ABC的面积=AC*BG/2=5*4/2=10，

又△ABC的面积=BC*AE/2=5*√[(x+1)²+y²]/2.

得5*√[(x+1)²+y²]/2=10

⇒√[(x+1)²+y²]=4

⇒(x+1)²+y²=16

⇒x²+y²+2x-15=0.         (1)

由勾股定理，得

AE²+BE²=AB²

⇒(x+1)²+y²(x-1)²+(y-4)²=20

⇒2x²+2y²-8y-2=0.         (2)

(1)*2-(2).得

x+2y-7=0

⇒y=(7-x)/2                    (3)

(3)代入(1),整理得

5x²-6x-11=0.

解得

x=2.2.

y=(7-2.2)/2=2.4.

∴垂足E为（2.2,2.4）。（注意：E不在抛物线上）

同样，

设点D为（x,y).

在直角三角形BDE和直角三角形CDE中,

由勾股定理,可求点D的坐标为（1.65,2）。

如图。

追问

D有两个解（一个在E上、一个在E下）

追答

若为|DE|=1，才有点D在AE的延长线上。

追问

DE是距离，你看到哪个距离是负的？
这个DE=1是距离的长度，不是向量的值。。
所以D点有两个！
就像在△ABC中，AB=5和BA=5有区别吗？

追答

设点D为（x,y).

在直角三角形BDE中有：
点B为（1,4），垂足E为（2.2,2.4）。
由勾股定理，得：
DE²+BE²=DB²
⇒(x-2.2)²+(y-2.4) ²+(2.2-1) ²+(2.4-4) ²=(x-1) ²+(y-4) ²
展开整理得：
y=0.75x-0.75 (1)
由|DE|=1
⇒(x-2.2)²+(y-2.4) ²=1 （2）
（1）代入（2）展开整理得：
5x²-22x+21=0.
解得：x=3,或x=1.4.
当x=3时,y=3;
当x=1.4时,y=1.8.
∴点D的坐标为（3,3）或（1.4,1.8）。

追问

为什么你两次答案不一？
没写错吧？。。

追答

答案：点D的坐标为（3,3）或（1.4,1.8）。

Answer 2

b应该等于4
应该是y=-x^2+4x+3

追问

将A代入，-1-b+3=0 → 2-b=0 → b=2

追答

眼拙了，没看见X²前面有个“-”，我再看看
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B( 1,4) ，C（4,0），得AC=5
根据勾股定理，得BC=5，AE=4，EC=3,
求出E的y坐标为12/5，可得D的y坐标为9/5
求出E的x坐标为11/5，可得D的y坐标为7/5
D(7/5，9/5)
不知道能否看明白，中间省略很多计算过程

追问

D有两个解（一个在E上、一个在E下）

追答

哦，那很容易，只有你之前的都看明白了，明白其中的原理，在E上面的应该自己举一反三才对，不要什么都依靠别人，自己学到了才是真的O(∩_∩)O~

Answer 3

由解析式 得： B( 1,4) 又 E ( 0,4 ) 所以 直线BE 与 x轴 平行
又 AE ⊥ BE 所以 AE ⊥ x 轴 ，所以 E的坐标 ( -1 , 4 ) ，所以 D （ - 1， 3 ） （ -1 ，5 ）

追问

孩纸，你的E（0,4）是怎么算出来的？

追答

不好意思，做错了，看错了条件

Answer 4

解:(1)把A(-1,0)代入解析式解得b=2,所以解析式为y=-x2+2x+3.顶点B为(1,4)
(2)根据B(1,4) C(4,0)可求出直线BC的解析式为y=-4/3x+16/3 ,因为AE垂直于BC,所以可设AE的解析式为y=4/3x+b,把A(-1,0)代入可求出b=4/3
由直线BC和直线AE的解析式组成方程组可求出交点E的坐标为(3/2,10/3),设D的坐标为(x,4/3x+4/3),根据DE=1,利用勾股定理列个一元二次方程(x-3/2)平方+(4/3x+4/3-10/3)平方=1平方,解出x1=21/10 x2=9/10 所以D的坐标有两个(21/10,62/15) (9/10,38/15)

Answer 5

求两个三角形相似 ，条件有图像的2个角 和斜边得到

Answer 6

(-1,3)为D点坐标

追问

D有两个解（一个在E上、一个在E下）