Question

设函数f(x)=(ax^2+1)/(bx+c)(a,b,c∈Z)的图像关于原点对称,f(1)=2,f(2)<3,求a,b,c

Answer 1

∵函数f(x)=(ax^2+1)/(bx+c)(a,b,c∈Z)的图像关于原点对称
∴f(x)是奇函数 ∴f(﹣x)＝﹣f(x) ∴(ax²＋1)/(﹣bx＋c)＝﹣(ax²＋1)/(bx＋c) ∴c＝0
∴f(x＝(ax²＋1)/(bx)
∵f(1)＝2 ∴(a＋1)/b＝2 ∴a＋1＝2b ∴a＝2b－1
∵f(2)＜3 ∴(4a＋1)/(2b)＝(8b－3)/(2b)＝4－3/(2b)＜3 ∴1/b＞2/3 ∴0＜b＜3/2
∵a,b,c∈Z ∴b＝1 ∴a＝2b－1＝1
∴a＝1 b＝1 c＝0

Answer 2

f(x)=(ax^2+1)/(bx+c)=abx^3+cax^2+bx+c
因为函数f(x)的图像关于原点对称，所以奇次项系数为0，即ca=c=0,f(x)=abx^3+bx
f(1)=2,f(2)<3,所以ab+b=2,8ab+2b<3
由ab+b=2，(a+1)b=2，且a,b∈Z，有四种可能：①a+1=2,b=1，②a+1=1,b=2，③a+1=-2,b=-1，④a+1=-1,b=-2
由①，a=1,b=1,8ab+2b=10,f(2)<3不成立；由②，a=0,b=2,f(2)=4<3也不成立；
由③，a=-3,b=-1，f(2)=22<3也不成立；由④，a=-2，b=-2,f(2)=28<3也不成立。
综上，本题无解。

（估计是楼主把数字抄错了，哈哈。方法可以参考。）