Question

抛物线y=x^2+bx+c与X轴交于A（-1，0）B（3，0）两点。求抛物线的解析式。

设（1）中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出点Q的坐标：若不存在，请说明理由

Answer 1

解：依题意，
y=(x+1)(x-3)=x^2-2x-3
当x=0,y=-3,
所以C(0,-3)
因为A,B关于抛物线对称轴x=1对称，连BQ交直线x=1于Q,
此时△QAC的周长最小
过B,C的直线为y=kx+b，得，
b=-3,
3k+b=0,
所以k=1，
所以y=x-3
当x=1时，y=-2，
所以Q(1,-2)

Answer 2

y=(x+1)(x-3)=x^2-2x-3
当x=0,y=-3,
所以C(0,-3)
因为A,B关于抛物线对称轴x=1对称，连BQ交直线x=1于Q,
此时△QAC的周长最小
过B,C的直线为y=kx+b，得，
b=-3,
3k+b=0,
所以k=1，
所以y=x-3
当x=1时，y=-2，
所以Q(1,-2)