Question

证明设A为s×m矩阵，B为m×n矩阵，X为n维未知列向量，证明齐次线性方程组ABX=0与BX=0同解的充要条件是

AB与B有相同的秩，即r(AB)=r(B)

Answer 1

解：

设B＝（B1，B2，．，Bs）

AB＝A（B1，B2，．，Bs）＝（AB1，AB2，．，ABs）＝（0，0，．，0）

ABi＝0

所以

B的列向量Bi都是AX＝0的解．

以上过程步步可逆，所以

AB＝0的充要条件是B的每个列向量均为齐次线性方程组AX＝0的解。

若a1a2．．．线性相关

则存在不全为0的数使得k1a1＋．．．＋kmam＝0

所以A（k1a1＋．．．＋kmam）＝A0＝0

所以k1Aa1＋．．．＋kmAam＝0

所以Aa1Aa2．Aam线性相关。

扩展资料

其他方法：

证明：设A＝（aij）。

取xi是第i个分量为1其余分量为0的m维行向量，i＝1，2，…，m；

取yj是第j个分量为1其余分量为0的n维列向量，j＝1，2，…，n．

则有xiAyj＝aij，i＝1，2，…，m；j＝1，2，…，n．

若对任意m维行向量x和n维列向量，都有xAy＝o，则必有

xiAyj＝aij＝0，i＝1，2，…，m；j＝1，2，…，n

故有A＝0。

Answer 2

证明: 必要性
因为ABX=0与BX=0同解
所以它们的基础解系所含向量的个数相同
所以 n-r(AB)=n-r(B)
即有 r(AB)=r(B).

充分性.
易知 BX=0 的解都是 ABX=0 的解
而BX=0的基础解系含n-r(B)个解向量
ABX=0的基础解系含n-r(AB)=n-r(B)个解向量
所以BX=0的基础解系是ABX=0的基础解系
所以ABX=0与BX=0同解.