Question

求一道初二数学题

已知：如图，在正方形ABCD中，∠EDF=45°，求证：EF=AE+CF

Answer 1

解答：
延长BC到G点，使CG=AE，
连接DG，则易证△DAE≌△DCG，
∴DE=DG，∠ADE=∠CDG，
∴∠EDG=90°，而∠EDF=45°，
∴∠GDF=45°，
∴∠EDF=∠GDF，
∴易证△EDF≌△GDF，
∴EF=GF=GC＋CF=AE＋CF。

Answer 2

延长BC至G，使CG=AE，连DG
∵AD=CD，AE=CG
∴Rt△ADE≌Rt△CDG(HL)
∴DE=DG，∠ADE=∠CDG
∴∠FDG=∠CDG+∠CDF=∠ADE+∠CDF=90°-45°=45°=∠FDE
又DF=DF
∴△EDF≌△GDF(SAS)
∴EF=GF=CG+CF=AE+CF

Answer 3

在BC的延长线上取点G，使CG=AE，连接DG

在△DGC和△DEA中，DC=DA（正方形的两条变长相等），∠DAE=∠DCG=90°，CG=AE（画出的辅助线）。所以△DGC≌△DEA（SAS）。所以∠GDC=∠EDA，GD=ED，CG=AE。所以AE+CF=CG+CF=FG

正方形ABCD中，∠CDA=90°，∠EDF=45°（已知），所以∠ADE+∠FDC=45°，因为∠ADE=∠CDG（已证明），所以∠CDG+∠FDC=45°，所以∠GDF=45°

在△GDF和△EDF中，GD=GE（已证明），∠GDF=∠EDF=45°（已证明），DF=DF=45°（公共边相等），所以△GDF≌△EDF（SAS），所以GF=EF。因为AE+CF=FG（已证明），所以EF=AE+CF