Question

高数不等式证明题

当x>0时，证明e^x-1-x>1-cosx
求导求错了都，应该是-sinx 还有导数怎么大于零的需要证明

Answer 1

令f(x)=e^x-1-x-1+cosx，则f'（x）=e^x-1-sinx，当x＞0时，sinx＜x，所以f'（x）＞e^x-1-x＞0，所以f（x）在（0，+∞）上单调递增，故f（x）＞f（0）=0，即e^x-1-x>1-cosx

Answer 2

f(x)=e^x-1-x-1+cosx
f'=e^x-1+sinx
x>0时，f'(x)>0
f(x)在x>0时递增，所以：f(x)>f(0)=e^0-1-0-1+cos0=0
f(x)>0
e^x-1-x-1+cosx>0
即：当x>0时，证明e^x-1-x>1-cosx

Answer 3

cosx<e^(-x)+x 令f(x)=cosx; g(x)=e^(-x)+x 任取0<x<1，f'(x)<0 ∴f(x)在(0,1)内单调递减任取0<x<1，g'(x)=1-e^(-x)>