Question

函数极限的局部保号性的小小疑问

函数极限的局部保号性，是这样描述的，当x趋近x0时，若极限A大于0
则f(x)大于，这个是怎么证明的
课本那个证明是这样写的
|f(x)-A|<A/2这样得出不等式f(x)>A/2 如果我那个任意正数不取A/2 取2A就可以得出不等式-A<f(x)<3A那么这个时候f(x)就不是大于零恒成立了

Answer 1

先看定义再证明啊：

他的定义是极限大于0，则x0点周围必存在f(x)大于0，言外之意是可能x0的两边取很小很小很小，只要有大于0的地方就可以了。

再言外之意就是不可能出现一个连续函数，当lim f(x0)＞0的时候，f(x0)两边却找不到f(x)＞0的点

对应定义要证明的话，你的目的是什么？ 当然是在x0周围只要找到一个同号的就可以了。而不是一定要找到一个异号的。

Answer 2

搞清楚一个前提，就是我们要证明的是f(x)>0，所以构建不等式时只能用小于A的数来维系证明，你那个结果是对的，但是区域放大过大导致证明失败

追问

为什么只能用小于A的数来证明

追答

不是为什么，你现在是要证明它成立啊。
比如已知10>a>0，求证a为正数。
你写说因为a>0，所以a>-1，只能得到-1<a<10，不能说正数。这就是证明过程的问题了。
你得到的结论-1<a<10是对的，但是没有证明结论