Question

一道超难数学题

如图，△ABC中，∠ACB=90°，把△ABC绕C点顺时针旋转到△A'B'C'的位置，旋转角为α（0°< α < 90°），A'B'交AC于点D。
1.若经过旋转，△A'B'C的B'C边恰好经过AB的重点M。求证：A'B'⊥AC；
2.若BC=9，AC=12，经过旋转，△A'CD是否可能成为等腰三角形？若能，求出CD的长；若不能，请说明理由。

Answer 1

△ABC绕C点顺时针旋转到△A'B'C'的位置，按照这句话的说法，两个三角形至少应该有一点是重合的，就是C，而不是C'，笔误。

1. M是重点，则由直角三角形性质，AM=BM=CM

则∠ACB'=∠A。（△AMC是等腰三角形）

又∠A'CB'=∠A'CA+∠ACB'=90

∠A=∠A'

则∠A'+∠A'CA=∠A+∠A'CA=∠ACB'+∠A'CA=90

由三角形内角和定理

∠A'DC=180-∠A'-∠A'CA=90

故A'B'⊥AC。

2. 若BC=9，AC=12，则由勾股定理，AB=15。

则cos∠A=12/15=cos∠A'=A'D/A'C=A'D/12

得到A'D=48/5

同理，cos∠A=cos∠ACB'=CD/CB'=CD/CB=CD/9

得到CD=36/5

故△A'CD不是等腰三角形。

追问

我感觉第二问不对劲，您再好好做做，这个答案网上有，我看过了，我感觉是能。

Answer 2

很难么？
1.M为AB中点，AM=BM=CM，
角ACM=角A，角CB'A'+角ACM=角B+角A=90度
A'B'垂直AC
2.分情况，是A'C=A'D还是CD=A'D
如果A'C=A'D=12，则作CF垂直A'B'于F，相似可得CG=36/5，A'G=48/5，DG=12/5，勾股定理CD=12倍根号10/5
如果CD=A'D，则作DG垂直A'C于G，则G为A'C中点，CG=A'G=6，由相似可以得到CD=15/2

Answer 3

这题难么？呵呵。（1）证：∵G为BE中点、F为BC中点∴△BCE中，GF‖EC 同理，△BCE中，FH‖BE 对边平行∴四边形EGFH是平行四边形。 (2) ∵EF⊥BC