Question

积分求解

如题，希望有完整的步骤

Answer 1

先算不定积分
∫e^(-nt)sinwtdt
=-1/w*∫e^(-nt)d(coswt)
=-1/w*[e^(-nt)coswt+n∫e^(-nt)coswtdt]
=-1/w*[e^(-nt)coswt+n/w*∫e^(-nt)d(sinwt)]
=-1/w*{e^(-nt)coswt+n/w*[e^(-nt)sinwt+n∫e^(-nt)sinwtdt]
=[-e^(-nt)coswt]/w-n/w^2*e^(-nt)sinwt-n^2/w^2*∫e^(-nt)sinwtdt
所以(1+n^2/w^2)∫e^(-nt)sinwtdt=-1/w*e^(-nt)coswt-n/w^2*e^(-nt)sinwt
∫e^(-nt)sinwtdt=[-w*e^(-nt)coswt-n*e^(-nt)sinwt]/(w^2+n^2)+C
所以原定积分=[-w*e^(-nT)coswT-n*e^(-nT)sinwT]/(w^2+n^2)+w/(w^2+n^2)
=[w-w*e^(-nT)coswT-n*e^(-nT)sinwT]/(w^2+n^2)