Question

已知函数f(x)=1-[2/(2^x+1)]， （1）判断函数的奇偶性 （2）求函数f(x)的值域 （3）判断其单调性并证明

Answer 1

f(x)=1-[2/(2^x+1)]=(2^x+1-2)/(2^x+1)=(2^x-1)/(2^x+1)
f(-x)=(2^(-x)-1)/(2^(-x)+1)=(1-2^x)/(1+2^x)=-(2^x-1)/(2^x+1)=-f(x)
为奇函数
y=(2^x-1)/(2^x+1)
y*2^x+y=2^x-1
y+1=2^x *(1-y)
2^x=(y+1)/(1-y)>0
-1<y<1

任取x2>x1,则：2^x2>2^x1
f(x2)-f(x1)=1-[2/(2^x2+1)]-1+[2/(2^x1+1)]=2(2^x2+1- 2^x1-1)/(2^x2+1)(2^x1+1)
=2(2^x2-2^x1)/(2^x2+1)(2^x1+1)>0
所以是递增函数

追问

从y*2^x+y=2^x-1到y+1=2^x *(1-y)是怎么变的？

追答

y*2^x+y=2^x-1
y+1=2^x-y*2^x
y+1=2^x *(1-y)